Счёт и перебор5–6 класс
Нарисуйте фигуру на клетчатой бумаге: сколько клеток она занимает и какой длины её граница? В этих задачах площадь считают в клетках, а периметр — в сторонах клеток, и их легко перепутать: прямоугольник может потерять угловую клетку и сохранить периметр. Всё умение — считать, ничего не пропуская и ничего не считая дважды.
+---+ | | +---+---+ | | | +---+---+
Площадь фигуры на клетчатой бумаге — это число клеток, которые она занимает. Две половинки клетки дают одну целую.
Периметр — это число сторон клеток на границе фигуры. Сторона, общая для двух клеток фигуры, лежит внутри и не считается.
У двух фигур одной площади периметры бывают разными: у четырёх клеток в ряд периметр 10, а у четырёх клеток квадратом — 8.
У каждой клетки 4 стороны. Сторона идёт в периметр, только если по другую её сторону нет клетки фигуры.
| Фигура | Площадь, в клетках | Периметр, в сторонах |
|---|---|---|
| 1 клетка | 1 | 4 |
| 2 клетки рядом | 2 | 4 + 4 − 2 = 6 |
| 4 клетки в ряд | 4 | 10 |
| квадрат 2 на 2 | 4 | 8 |
Нарисуйте фигуру на клетчатой бумаге. Для площади посчитайте клетки по рядам. Для периметра обойдите границу и посчитайте стороны клеток, мимо которых проходите. Если фигуру разрезают, перебирайте части в таком порядке, чтобы ни одну не пропустить и ни одну не посчитать дважды. Примеры ниже идут от простого к олимпиадному.
Пример 1 · 5–6 класс
Крест сложен из 5 клеток: одна в середине и по одной с каждой из четырёх её сторон. Каков периметр креста в сторонах клеток?
+---+
| |
+---+---+---+
| | | |
+---+---+---+
| |
+---+Ответ 12 сторон клеток.
Пример 2 · 5–6 класс
Полоску 2 на 4 клетки разрезают по линиям сетки на две части по 4 клетки, и каждая часть должна быть цельной, не распадаться. Сколькими способами это можно сделать?
████ ███░ ██░░ █░░░ ░░░░ █░░░ ██░░ ███░
Ответ 4 способа.
Пример 3 · 5–6 класс
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 3 на 5 клеток, и из одного его угла в противоположный проведён отрезок. Через сколько клеток он проходит? Клетка считается, если отрезок проходит через её внутреннюю часть, а не только касается угла.
░ ░ ░ █ █ ░ █ █ █ ░ █ █ ░ ░ ░
Ответ 7 клеток.
MathTrail разбирает каждый неверный ответ по названной ловушке. Вот главные в этой теме — и что можно сказать ребёнку.
Одно и то же считают дважды: общие стороны клеток добавляют к периметру или каждый разрез полоски перечисляют по разу для каждой из двух частей.
Что сказать
«Не посчитаны ли сторона или разрез с двух сторон?»
Пропущен случай: разрез со ступенькой в другую сторону, кусок границы во внутреннем углу или доминошки, стоящие вертикально, а не только лежащие.
Что сказать
«Есть ли способ, который ещё не пробовали, например наоборот?»
Теряется условие: распавшуюся часть считают частью, соседней называют клетку, которая касается только углом, или думают, что отрезок проходит через клетку, которой только касается.
Что сказать
«Эта часть или клетка точно подходит под условие?»
Держите под рукой клетчатую бумагу и рисуйте вместе фигуры из 4 или 5 клеток. У какой граница самая длинная? У какой самая короткая?
Посчитайте периметр, проводя пальцем по границе сторона за стороной. Потом посчитайте внешние стороны каждой клетки и проверьте, что ответы совпали.
Разрежьте бумажную полоску на две одинаковые по размеру части как можно большим числом способов. Разложите их так, чтобы ни один способ не пропустить и не повторить.