MathTrail
Добавить в Claude
Меню

Приёмы решения олимпиадных задач

У олимпиадной задачи нет готового способа решения. Зато есть приёмы, которые работают сразу во многих задачах. Здесь собраны 11 приёмов самых частых, и к каждому есть задача, рисунок и решение.

Попробуйте решить задачу вместе с ребёнком, прежде чем открыть решение. Самое ценное — заметить, какой приём сработал, чтобы узнать его в следующий раз.

С чего начать любую задачу

Прежде чем выбирать приём, полезно пройти четыре шага. Их предложил математик Дьёрдь Пойа в книге «Как решать задачу» (1945).

  1. Пойми задачу

    Перескажи её своими словами. Что известно? Что нужно найти?

  2. Придумай план

    На какую задачу она похожа? Какой приём с этой страницы можно попробовать?

  3. Реши

    Решай шаг за шагом и записывай, что получилось на каждом шаге.

  4. Проверь

    Подставь ответ в условие. Всё сходится? Нет ли другого ответа?

Увидеть задачу

Сначала задачу нужно понять. Эти приёмы превращают текст в картинку, таблицу или маленький пример.

01

Нарисуй задачу

Рисунок или схема превращает слова в то, на что можно посмотреть. Хватит отрезков, точек и стрелок — рисовать красиво не нужно.

Когда помогает: «на столько больше», возраст, движение, части целого.

Задача · 1–2 класс

Брат на 4 года старше сестры. Вместе им 16 лет. Сколько лет брату?

Показать решение
  1. Нарисуем возраст сестры отрезком, а возраст брата — таким же отрезком и ещё 4 года.
  2. Уберём лишние 4 года: 16 − 4 = 12. Это два одинаковых отрезка.
  3. Один отрезок — 12 : 2 = 6 лет, это сестра. Брату 6 + 4 = 10.
Схема показывает то, что трудно удержать в голове: без «лишних» четырёх лет у брата и сестры поровну.

Ответ Брату 10 лет.

В темах:Календарь и возраст

02

Составь таблицу

Когда условий много, удержать их в голове трудно. Таблица держит их за вас: каждое условие — крестик, а где в строке осталась одна свободная клетка, там ответ.

Когда помогает: несколько людей, предметов и условий со словом «не».

Задача · 1–2 класс

У Ани, Бори и Веры живут кот, собака и попугай — у каждого кто-то один. Аня не держит кота. Боря боится собак. Кот живёт не у Бори. У кого кто?

Показать решение
  1. Ставим крестики по условиям: Аня — не кот, Боря — не собака, кот — не у Бори.
  2. У Бори осталась одна клетка — попугай. Значит, у Ани и Веры попугая нет.
  3. У Ани осталась собака, у Веры — кот.
Маленькая цифра в клетке — шаг решения, на котором её отметили.

Ответ Аня — собака, Боря — попугай, Вера — кот.

В темах:Упорядочивание

03

Начни с маленьких чисел

Частный случай

Если числа большие и непонятно, с чего начать, решите ту же задачу с маленькими числами. Заметьте правило и примените его к большим.

Когда помогает: большие числа, «сто», «тысяча», длинные ряды.

Задача · 3–4 класс

Вдоль дороги длиной 100 метров ставят столбы через каждые 5 метров, включая оба конца. Сколько понадобится столбов?

Показать решение
  1. Сто метров не нарисуешь — возьмём дорогу в 10 м. Столбы на 0, 5 и 10 м: 3 столба на 2 промежутка.
  2. Для 15 и 20 м то же самое: столбов всегда на один больше, чем промежутков.
  3. В 100 м промежутков 100 : 5 = 20, значит, столбов 21.
Правило видно уже на маленькой дороге — дальше его достаточно применить к ста метрам.

Ответ 21 столб.

В темах:Промежутки и границы

Найти ответ

Когда понятно, что происходит, эти приёмы помогают дойти до ответа и ничего не потерять по дороге.

04

Перебирай по системе

Перебор наугад обязательно что-то пропустит или посчитает дважды. Перебор по системе идёт по порядку: сначала по первому признаку, потом по второму. Удобно рисовать дерево.

Когда помогает: «сколько способов», «сколько чисел», «выпиши все варианты».

Задача · 1–2 класс

Сколько разных двузначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6 и 8, если цифры в числе не повторяются?

Показать решение
  1. Выберем порядок: сначала первая цифра, потом вторая.
  2. Первая цифра — 2, 4, 6 или 8. Для каждой остаются три другие.
  3. Выписываем по веткам: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86 — ни одно не пропущено и не повторено.
Дерево не даёт ничего пропустить: у каждой первой цифры — свои ветки.

Ответ 12 чисел.

В темах:Перебор

05

Решай с конца

Обратный ход

Если известен конец истории, а спрашивают про начало, идите назад. Каждое действие меняем на обратное: «съел» — на «вернул», «умножил» — на «разделил».

Когда помогает: известно, что получилось в конце, а найти нужно, что было сначала.

Задача · 3–4 класс

В вазе лежали яблоки. Таня съела половину. Потом Петя съел половину оставшихся и ещё одно яблоко. Осталось 2 яблока. Сколько яблок было сначала?

Показать решение
  1. Начнём с того, что известно: в конце осталось 2 яблока.
  2. До Пети: вернём одно яблоко — 2 + 1 = 3. Это половина, значит, было 6.
  3. До Тани: 6 — половина, значит, было 12. Проверка: 12 → 6 → 6 − 3 − 1 = 2.
Идём справа налево и делаем всё наоборот: «съел половину» — умножаем на 2, «съел ещё одно» — прибавляем 1.

Ответ 12 яблок.

В темах:Арифметика с подвохомВзвешивания и переливанияИгры с выигрышной стратегией

06

Предположи, что все одинаковые

Метод предположения

Когда в задаче предметы двух видов, представьте, что все они одинаковые. Посчитайте, насколько ответ не сходится, и станет ясно, сколько нужно заменить.

Когда помогает: два вида предметов и известно общее количество — головы и ноги, монеты двух видов.

Задача · 3–4 класс

Во дворе гуляют куры и кролики. У них вместе 10 голов и 28 ног. Сколько во дворе кроликов?

Показать решение
  1. Предположим, что все 10 — куры. Тогда ног 10 × 2 = 20.
  2. На самом деле ног 28, то есть на 8 больше.
  3. Каждый кролик вместо курицы добавляет 2 ноги: 8 : 2 = 4 кролика. Проверка: 4 × 4 + 6 × 2 = 28.
Сначала считаем так, будто все одинаковые, а потом меняем ровно столько, сколько нужно, чтобы сошлось.

Ответ 4 кролика.

07

Ищи закономерность

Посмотрите на первые несколько шагов и найдите, что повторяется. Повторяющийся кусочек позволяет «перепрыгнуть» далеко вперёд, не рисуя всё подряд.

Когда помогает: узоры, ряды, календарь — «какой будет двадцатый», «какой будет сотый».

Задача · 1–2 класс

Флажки висят по порядку: красный, жёлтый, зелёный, синий, потом снова красный, жёлтый, зелёный, синий, и так дальше. Какого цвета 23-й флажок?

Показать решение
  1. Найдём кусочек, который повторяется: красный, жёлтый, зелёный, синий — четыре флажка.
  2. 23 флажка — это 5 полных четвёрок (20 флажков) и ещё 3.
  3. 23-й — третий в своей четвёрке, а третий всегда зелёный.
Не нужно рисовать двадцать три флажка: достаточно понять, каким по счёту в четвёрке окажется нужное место.

Ответ Зелёный.

В темах:Чётность и чередованиеКалендарь и возраст

Доказать

На олимпиаде часто спрашивают не «сколько», а «может ли быть». Тут нужно не посчитать, а объяснить, почему иначе нельзя.

08

Предположи обратное

Доказательство от противного

Чтобы доказать, что так не бывает, предположите, что бывает, и рассуждайте, пока не наткнётесь на противоречие. Так решаются почти все задачи про рыцарей и лжецов.

Когда помогает: «может ли быть», «докажи, что нельзя», кто говорит правду.

Задача · 3–4 класс

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Аня сказала: «Боря — лжец». Боря сказал: «Мы с Аней оба рыцари». Кто из них кто?

Показать решение
  1. Предположим, что Боря — рыцарь. Тогда его слова правда, и Аня тоже рыцарь. Но рыцарь Аня сказала, что Боря — лжец. Противоречие.
  2. Значит, Боря — лжец, и его слова ложь: они с Аней не оба рыцари. Так и есть.
  3. Аня сказала «Боря — лжец», и это правда. Правду говорит только рыцарь, значит, Аня — рыцарь.
Один путь ведёт в тупик — значит, верен другой.

Ответ Аня — рыцарь, Боря — лжец.

В темах:Рыцари и лжецы

09

Следи за чётностью

Иногда не нужно знать всё — достаточно знать, чётное число или нечётное. Если что-то каждый раз меняется с «чёт» на «нечет», по числу шагов сразу видно, где можно оказаться, а где нельзя.

Когда помогает: прыжки, ходы, обмены, «через одного», «может ли получиться».

Задача · 3–4 класс

Кузнечик сидит на числовой прямой в нуле. Каждый прыжок — ровно на 1 влево или вправо. Может ли он через 5 прыжков снова оказаться в нуле?

Показать решение
  1. Раскрасим клетки через одну: чётные и нечётные.
  2. Каждый прыжок меняет цвет: с чётной клетки на нечётную и обратно.
  3. Число 5 нечётное, поэтому после 5 прыжков кузнечик точно на нечётной клетке, а ноль чётный.
Не нужно следить, куда именно прыгал кузнечик, достаточно следить за цветом клетки.

Ответ Нет, не может.

В темах:Чётность и чередование

10

Кролики и клетки

Принцип Дирихле

Если кроликов больше, чем клеток, то в какой-то клетке сидят хотя бы два кролика. Звучит очевидно, но помогает доказать то, что, кажется, невозможно проверить.

Когда помогает: «докажи, что обязательно найдутся», «хотя бы двое», «наверняка».

Задача · 3–4 класс

Сколько раз нужно бросить игральный кубик, чтобы какое-то число очков наверняка выпало хотя бы дважды?

Показать решение
  1. На кубике 6 чисел, это 6 «клеток», а броски — «кролики».
  2. За 6 бросков все числа ещё могут оказаться разными: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  3. А седьмому броску свободной клетки уже нет: какое-то число выпадет второй раз. Значит, 7 бросков.
Даже если первые шесть бросков все разные, седьмому придётся повторить какое-то число.

Ответ 7 бросков.

В темах:Принцип Дирихле

11

Повторяй симметрично

Симметричная стратегия

В играх на двоих часто выигрывает тот, кто умеет зеркально повторять ходы соперника. Тогда ответный ход у вас есть всегда, пока он есть у соперника.

Когда помогает: игры на двоих, «кто выиграет при правильной игре».

Задача · 5–6 класс

Полоска из 9 клеток. Двое по очереди ставят фишку в пустую клетку, но не рядом с уже занятой. Кто не может поставить фишку — проиграл. Куда первому поставить первую фишку, чтобы выиграть при любой игре соперника?

Показать решение
  1. Первым ходом поставить фишку в среднюю, пятую клетку.
  2. На каждый ход соперника отвечать зеркально — в клетку напротив, через середину.
  3. Если клетка соперника свободна и не рядом с занятыми, то и зеркальная тоже. Значит, без хода первым останется соперник.
Середина у полоски одна, а для любой другой клетки есть зеркальная. Поэтому первый игрок никогда не останется без хода.

Ответ В среднюю, пятую клетку, а дальше отвечать зеркально.

В темах:Игры с выигрышной стратегией

Какой приём попробовать

Это подсказка по словам в условии, а не правило: многие задачи решаются двумя приёмами сразу.

Если в задаче……попробуйте

«на столько больше», возраст, части целого
01Нарисуй задачу
много людей, предметов и условий со словом «не»
02Составь таблицу
большие числа, и непонятно, с чего начать
03Начни с маленьких чисел
«сколько способов», «сколько чисел»
04Перебирай по системе
известен конец, а спрашивают про начало
05Решай с конца
два вида предметов и общее количество
06Предположи, что все одинаковые
что-то повторяется: «какой будет двадцатый»
07Ищи закономерность
«может ли быть», «докажи, что нельзя»
08Предположи обратное09Следи за чётностью
«наверняка», «хотя бы двое»
10Кролики и клетки
игра на двоих: «кто выиграет»
11Повторяй симметрично

Попробуйте приёмы на задачах

Эти приёмы пригодятся в задачах каждой темы MathTrail.

Добавить в ClaudeВсе темы