MathTrail
Добавить в Claude
Меню

Логика5–6 класс

Пересекающиеся группы

Одни дети ходят в шахматный кружок, другие на футбол, кто-то — и туда, и туда, а кто-то никуда. В этих задачах группы пересекаются, и весь фокус в том, чтобы посчитать каждого ровно один раз. Два круга на бумаге превращают запутанный вопрос в четыре числа.

Главный приём
Нарисовать круги и начать с середины
Чему учит
Считать, не считая дважды, и понимать, что значит каждое число
     шахматы     футбол
  (   7   (   3   )   9   )

Правила двух кругов

Четыре части картинки

30 учеников: 14 поют в хоре, 11 ходят в изостудию, 4 — и туда, и туда. Заполним картинку от середины к краям.

ЧастьСколькоКак найти
В обеих4дано
Только хор14 − 4 = 10хор без тех, кто в обеих
Только изостудия11 − 4 = 7изостудия без тех, кто в обеих
Ни в одной30 − 10 − 7 − 4 = 9все остальные

Как решают: от середины к краям

Нарисуйте два пересекающихся круга. Сначала впишите в середину тех, кто в обеих группах, потом остальных в каждом круге и в конце тех, кто снаружи. Если середина не дана, переберите значения, которые она может принимать, и посмотрите, какие подходят. Примеры ниже идут от простого к олимпиадному.

  1. Нарисовать круги
  2. Заполнить середину, потом остальное
  3. Проверить, что части дают всех

Пример 1 · 5–6 класс

Сёстры и братья

В группе 24 ребёнка. У 15 есть сестра, у 11 — брат, а у 6 есть и сестра, и брат. У скольких детей нет ни сестры, ни брата?

  1. Нарисуем два пересекающихся круга, «сестра» и «брат». В середине — 6 детей, у которых есть и то, и другое.
  2. Только сестра: 15 − 6 = 9. Только брат: 11 − 6 = 5.
  3. В кругах 9 + 6 + 5 = 20 детей. Снаружи 24 − 20 = 4.
     сестра      брат
   (  9  (  6  )  5  )
       снаружи: 4

Ответ 4 ребёнка.

Пример 2 · 5–6 класс

Яблоки и груши

В группе 25 детей. 18 любят яблоки, 16 — груши. Какое наименьшее число детей может любить и яблоки, и груши?

  1. Чтобы середина была как можно меньше, разведём любителей яблок и любителей груш как можно дальше.
  2. Порознь им нужно 18 + 16 = 34 места, а детей всего 25: 34 − 25 = 9 из них обязательно окажутся в обоих кругах.
  3. 9 возможно: 9 любят только яблоки, 7 — только груши и 9 — и то, и другое. Всего 25, и никто не остался в стороне.

Ответ 9 детей.

Пример 3 · 5–6 класс

Три предмета

Каждый из 20 учеников любит хотя бы один из трёх предметов: математику, чтение и рисование. Математику любят 12, чтение — 10, рисование — 9. Все три не любит никто. Сколько учеников любят ровно два предмета?

  1. Сложим три числа: 12 + 10 + 9 = 31. Ученик, который любит один предмет, вошёл в эту сумму один раз, а тот, кто любит два, — дважды.
  2. Учеников всего 20, поэтому в сумме 31 − 20 = 11 лишних единиц, по одной на каждого, кого посчитали дважды.
  3. Значит, ровно два предмета любят 11 учеников. Проверка: один предмет любят 9 и два — 11, а 9 + 2 × 11 = 31.

Ответ 11 учеников.

Где ошибаются

MathTrail разбирает каждый неверный ответ по названной ловушке. Вот главные в этой теме — и что можно сказать ребёнку.

Как помочь дома

  1. Два обруча на полу

    Положите на пол два обруча или две петли из верёвки так, чтобы они пересекались, и раскладывайте в них игрушки: «красные» и «мягкие». Мягкий красный медведь — в середину.

  2. Шесть — кого?

    Когда ребёнок отвечает «шесть», спросите: «Шесть — кого?» Шесть в обоих кружках и шесть ни в одном — разные ответы.

  3. Опрос в семье

    Спросите домашних, кто любит чай и кто любит какао, и нарисуйте круги вместе. Ошибаются обычно именно в середине.

Сначала

Попросите задачу на эту тему

Дай задачу про пересекающиеся группы

Добавить в ClaudeВсе темы