Счёт и перебор1–6 класс
Пять голубей садятся в четыре клетки: в какой-то клетке их обязательно окажется двое. В этих задачах ребёнок доказывает, что при любом невезении что-то непременно случится: два носка одного цвета из тёмного ящика, два дня рождения в одном месяце. Это первая встреча с рассуждением о худшем случае, а не о счастливом.
● ● ● ● ● [● ●] [●] [●] [●]
Если голубей больше, чем клеток, в какой-то клетке их хотя бы двое. Как ровно их ни рассаживайте, один всё равно окажется лишним.
Слово «наверняка» значит: что бы ни попалось. Представьте, что всё идёт так плохо, как только может, и посмотрите, как далеко заходит невезение.
Невезение кончается, когда каждый цвет уже вытащен по разу или каждая клетка занята. Тогда следующий непременно даст то, что нужно.
Каждый вопрос спрашивает, что будет наверняка. Чтобы ответить, посчитайте, как далеко может зайти невезение, и добавьте ещё один.
| Чтобы наверняка получить | Невезение может дать сначала | Значит, взять |
|---|---|---|
| двоих, родившихся в один день недели | по одному на каждый из 7 дней | 7 + 1 = 8 человек |
| красный шар из 6 синих и 4 красных | все 6 синих шаров | 6 + 1 = 7 шаров |
| два красных шара из 6 синих и 4 красных | все 6 синих шаров и один красный | 6 + 1 + 1 = 8 шаров |
Назовите клетки, например цвета, месяцы или дни недели. Потом доведите невезение до конца: возьмите всё, что ещё не даёт нужного. Тогда следующий непременно даст нужное. Примеры ниже идут от простого к олимпиадному.
Пример 1 · 1–2 класс
В банке 8 лимонных конфет и 2 апельсиновые. Сколько конфет нужно не глядя взять Саше, чтобы наверняка достать апельсиновую?
Ответ 9 конфет.
Пример 2 · 3–4 класс
В ящике вперемешку лежат 8 чёрных носков, 6 белых и 2 полосатых. Сколько носков нужно взять в темноте Глебу, чтобы наверняка были два чёрных?
Ответ 10 носков.
Пример 3 · 5–6 класс
В каждой ячейке таблицы 2 × 2 стоит 1, 2 или 3. Сложим два числа каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали. Верно ли, что среди этих шести сумм всегда найдутся две равные?
1 3
2 2Ответ Да, всегда.
MathTrail разбирает каждый неверный ответ по названной ловушке. Вот главные в этой теме — и что можно сказать ребёнку.
Ребёнок рассчитывает на удачу: «Если первые два носка чёрные, двух хватит». Но в вопросе сказано «наверняка», а это слово как раз исключает удачу.
Что сказать
«А если не повезёт совсем?»
Из вопроса теряется одно слово: «два чёрных носка» читают как «два носка одного цвета», а «по одному каждого цвета» — как «одного цвета».
Что сказать
«Прочитай вопрос ещё раз: что именно нужно получить наверняка?»
Ребёнок доводит невезение до конца и либо на этом останавливается, забыв про ещё один, который решает дело, либо прибавляет лишний.
Что сказать
«Что даст следующий после худшего невезения?»
Сложите в мешок носки двух-трёх цветов и доставайте их с закрытыми глазами: сколько нужно, чтобы пара была наверняка? Попробуйте несколько раз и увидите, что удача меняется, а ответ нет.
Когда ребёнок говорит «так может случиться», спросите: «А может и не случиться?» Разница между «может» и «обязательно» — это и есть вся тема.
Ищите клетки в обычных подсчётах вместе: семь дней недели, двенадцать месяцев, четыре времени года. «Нас 30 — найдутся ли двое, родившиеся в одном месяце?»