Стратегии и игры3–6 класс

Взвешивания и переливания

Как отмерить ровно 4 литра, если есть только сосуды на 5 и на 3 литра? Как на весах без гирь найти одну лёгкую монету среди многих? В этих задачах ребёнок составляет короткий план действий, и важно каждое правило: на сосудах нет делений, у весов нет гирь. Это первая встреча с алгоритмами, то есть планами, которые работают, что бы ни случилось.

Главный приём: Записывать каждое состояние и искать самый короткий путь
Чему учит: Планировать шаги наперёд и продумывать каждый исход взвешивания

Правила взвешиваний и переливаний

Состояние — это все сосуды
Записывайте, сколько в каждом сосуде после каждого шага: 5 и 0, потом 2 и 3. Список состояний показывает, куда можно попасть и где вы уже были.
Три исхода
Весы могут перевеситься влево, вправо или остаться в равновесии, так что у каждого взвешивания три исхода. Делите монеты на три кучки, а не на две.
Важно каждое правило
Каждое правило меняет, какие шаги разрешены, а значит, и ответ. Например, на сосудах нет делений, воду нельзя выливать, а гири можно класть только на одну чашку.

Три исхода взвешивания

У каждого взвешивания три исхода, поэтому оно может разделить монеты на три кучки. От этого зависит, со сколькими монетами справится данное число взвешиваний.

Взвешиваний	Исходов	Сколько монет
1	3	до 3
2	3 × 3 = 9	до 9
3	3 × 3 × 3 = 27	до 27

Как решают: таблица состояний

Для переливаний составьте таблицу: столбец на каждый сосуд, строка на каждый шаг. Из каждой строки пробуйте все разрешённые шаги, пока не появится цель. Первое её появление и есть наименьшее число шагов. Для взвешиваний продумайте, что делать после каждого из трёх исходов. Примеры ниже идут от простого к олимпиадному.

Записать состояние — что в каждом сосуде или на каждой чашке
Перепробовать все разрешённые шаги из него
Остановиться на цели и посчитать шаги

Пример 1 · 3–4 класс

Один литр

У повара есть пустой сосуд на 3 литра, пустой сосуд на 5 литров и кран. Делений на сосудах нет. За один шаг можно наполнить сосуд из крана, вылить его или переливать из одного сосуда в другой, пока первый не опустеет или второй не наполнится. За какое наименьшее число шагов можно получить ровно 1 литр в одном из сосудов?

Наполним сосуд на 3 литра и перельём в сосуд на 5 литров: теперь в нём 3 литра.
Снова наполним сосуд на 3 литра и будем переливать, пока большой не наполнится: войдёт только 2 литра.
В маленьком сосуде остался 1 литр, и на это ушло 4 шага: наполнить, перелить, наполнить, перелить.

Ответ 4 шага.

Пример 2 · 3–4 класс

Восемь монет

Есть 8 одинаковых на вид монет. Одна из них фальшивая и легче остальных, а настоящие весят одинаково. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно наверняка найти фальшивую?

Положим по 3 монеты на каждую чашку, а 2 отложим.
Если одна чашка поднялась, фальшивая среди её 3 монет: сравним 1 с 1, и фальшивой окажется та, что легче, а при равновесии — третья.
Если равновесие, фальшивая среди 2 отложенных: сравним их между собой. В любом случае хватает 2 взвешиваний, а 1 не хватит: у него лишь 3 исхода на 8 монет.

[●●●] [●●●]  ●●

Ответ 2 взвешивания.

Пример 3 · 5–6 класс

Сто монет

Среди 100 одинаковых на вид монет одна фальшивая и легче остальных, а настоящие весят одинаково. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно наверняка найти фальшивую?

У каждого взвешивания 3 исхода, поэтому 4 взвешивания различают не больше 3 × 3 × 3 × 3 = 81 случая. Это меньше 100 монет, так что 4 взвешиваний не хватит.
Положим по 33 монеты на чашки и 34 отложим: что бы ни случилось, останется не больше 34 монет. Так же 34 сводятся не больше чем к 12, потом к 4, к 2 и к 1.
Получается 5 взвешиваний: монет остаётся 100, 34, 12, 4, 2 и 1.

Ответ 5 взвешиваний.

Где ошибаются

MathTrail разбирает каждый неверный ответ по названной ловушке. Вот главные в этой теме — и что можно сказать ребёнку.

Ловушка
Упущено одно из условий
Правило задачи нарушается незаметно: то воду выливают, хотя задача этого не разрешает, то сосуд наполняют до деления, которого на нём нет, то кладут гирю на чашку с грузом.
Что сказать
«Какие шаги разрешает задача?»
Ловушка
Решение остановлено на полпути
План обрывается раньше, чем появилась уверенность: одно взвешивание нашло кучку с фальшивой монетой, и поиск на этом закончен, или переливание остановлено на 2 литрах, когда нужен был 1.
Что сказать
«Что бы ни показали весы — теперь точно известно?»
Ловушка
Ошибка на единицу при подсчёте промежутков
Шаги подсчитаны со сдвигом на единицу: первое наполнение из крана пропущено или последнее переливание посчитано дважды.
Что сказать
«Посчитай ещё раз по таблице: одна строка — один шаг.»

Как помочь дома

Сосуды в раковине
Возьмите две чашки разного размера и попробуйте отмерить количество, которого нет ни в одной. Раковина — лучшая лаборатория: пролитая вода не беда.
Найдите лёгкий
Спрячьте один лёгкий предмет среди нескольких одинаковых на вид и найдите его на домашних весах или на вешалке с двумя пакетами. Считайте взвешивания.
Сначала план
Прежде чем переливать или взвешивать, запишите план таблицей и проверьте его шаг за шагом. Умение — в плане, а не в везении.

Взвешивания и переливания

Правила взвешиваний и переливаний

Состояние — это все сосуды

Три исхода

Важно каждое правило

Три исхода взвешивания

Как решают: таблица состояний

Один литр

Восемь монет

Сто монет

Где ошибаются

Упущено одно из условий

Решение остановлено на полпути

Ошибка на единицу при подсчёте промежутков

Как помочь дома

Сосуды в раковине

Найдите лёгкий

Сначала план

Сначала

Перебор

Принцип Дирихле

Попросите задачу на эту тему