MathTrail
Добавить в Claude
Меню

Стратегии и игры5–6 класс

Игры с выигрышной стратегией

На столе 20 спичек, игроки по очереди берут 1, 2 или 3. Кто взял последнюю спичку, тот выиграл. Может ли первый игрок всегда выиграть? В этих задачах ребёнок ищет план, который выигрывает при любых ходах соперника. Искать его нужно с конца игры, отмечая позиции, проигрышные для того, кто из них ходит.

Главный приём
Идти от конца и найти проигрышные позиции
Чему учит
Находить план, который выигрывает при любых ходах соперника
спичек    0 1 2 3 4 5 6 7 8
проигрыш  ●       ●       ●

Правила игр

Проигрышные позиции

Пусть за ход берут 1, 2 или 3 спички, а выигрывает тот, кто взял последнюю. Тогда позиции, проигрышные для ходящего, повторяются через 4.

Осталось спичекЛучший ходПочему
1, 2 или 3взять всепоследняя спичка выигрывает
4выигрышного нетпосле любого хода соперник забирает остаток
5, 6 или 7взять 1, 2 или 3, оставив 4сопернику достаются проигрышные 4
8выигрышного нетлюбой ход оставляет 5, 6 или 7

Как решают: от конца игры

Выпишите позиции от самой маленькой. Отмечайте позицию проигрышной, если любой ход из неё ведёт в выигрышную, и выигрышной, если какой-то ход ведёт в проигрышную. Выигрышный ход из начала — тот, что оставляет проигрышную позицию. Примеры ниже идут от простого к олимпиадному.

  1. Начать с позиций в конце игры
  2. Отметить каждую выигрышной или проигрышной, от меньших к большим
  3. Найти ход, который оставляет сопернику проигрышную

Пример 1 · 5–6 класс

Конфеты в вазе

В вазе 23 конфеты. Катя и Лёва ходят по очереди, первой — Катя. За ход можно взять 1, 2, 3 или 4 конфеты. Кто возьмёт последнюю конфету, тот выиграл. Сколько конфет должна взять Катя первым ходом, чтобы наверняка выиграть?

  1. С конца: если осталось от 1 до 4 конфет, ходящий забирает все и выигрывает. Если осталось 5, любой ход оставляет сопернику от 1 до 4, значит, 5 — проигрышная позиция.
  2. Так же проигрышны 10, 15 и 20: что бы из них ни взяли, соперник может оставить следующее число, кратное 5.
  3. Значит, Катя берёт 3 и оставляет 20. Что бы ни взял Лёва, Катя добирает до 5, оставляя 15, 10, 5 и наконец ничего.

Ответ 3 конфеты.

Пример 2 · 5–6 класс

Прогулка короля

Король стоит в левом нижнем углу доски 5 на 5. Два игрока по очереди передвигают его на одну клетку вверх, вправо или по диагонали вверх и вправо. Кто поставит короля в правый верхний угол, тот выиграл. Кто выиграет при правильной игре?

  1. Посчитаем, сколько рядов и столбцов королю ещё осталось пройти. С клетки, от которой до угла один ход, ходящий выигрывает сразу.
  2. Клетка проигрышна для ходящего, если оба числа чётные: любой ход делает одно из них нечётным, а соперник может снова сделать оба чётными.
  3. Король начинает в 4 рядах и 4 столбцах от угла: оба числа чётные, значит, первый проигрывает. Второй каждый раз отвечает ходом на чётную клетку и доходит до угла.
● · ● · ●
· · · · ·
● · ● · ●
· · · · ·
● · ● · ●

Ответ Второй игрок.

Пример 3 · 5–6 класс

Ромашка

У ромашки 12 лепестков, растущих по кругу. Два игрока по очереди обрывают либо один лепесток, либо два соседних, между которыми нет промежутка. Кто оборвёт последний лепесток, тот выиграл. Кто выиграет при правильной игре?

  1. Что бы ни оборвал первый игрок, один лепесток или два, круг размыкается в ряд из 11 или 10 лепестков.
  2. Второй обрывает лепестки из самой середины этого ряда: один из ряда в 11, два — из ряда в 10. Остаются два одинаковых ряда друг напротив друга.
  3. Дальше второй повторяет каждый ход первого в другом ряду. Пока может ходить первый, может и второй, поэтому последний лепесток обрывает второй.
   ○ ● ●
 ●       ●
●         ●
 ●       ●
   ● ● ○

Ответ Второй игрок.

Где ошибаются

MathTrail разбирает каждый неверный ответ по названной ловушке. Вот главные в этой теме — и что можно сказать ребёнку.

Как помочь дома

  1. Сыграйте в спички

    Сыграйте в игру «берём 1, 2 или 3 спички из 15» и дайте ребёнку ходить первым. Выиграйте несколько раз, а потом спросите, почему числа, кратные 4, всё время возвращаются.

  2. Повторите ход

    В любой игре на симметричной доске попробуйте повторять ход соперника с противоположной стороны. Обсудите, когда повторение работает, а когда ломается.

  3. Поменяйтесь местами

    Когда ребёнок найдёт выигрышный план, поменяйтесь: теперь ребёнок ходит вторым. Вторая, более глубокая половина темы — объяснить, почему теперь план проигрывает.

Сначала

Попросите задачу на эту тему

Дай задачу на игры с выигрышной стратегией

Добавить в ClaudeВсе темы