MathTrailतर्ककक्षा 3–6
एक द्वीप पर सच्चे रहते हैं, जो हमेशा सच बोलते हैं, और झूठे, जो हमेशा झूठ बोलते हैं। अंग्रेज़ी में इन पहेलियों को knights and knaves भी कहते हैं। उनकी बातों से पता लगाना होता है कि कौन क्या है। बहुत-से बच्चों के लिए यह असली तार्किक सोच से पहली मुलाकात होती है: कुछ मान लेना, देखना कि यह बात कहाँ तक ले जाती है, और विरोधाभास पहचानना।
हमेशा सच बोलता है। सच्चे का हर कथन सच होता है, बिना किसी अपवाद के।
हमेशा झूठ बोलता है। झूठे का हर कथन झूठ होता है, और झूठा कभी सच नहीं बोलता, गलती से भी नहीं।
हर द्वीपवासी या तो सच्चा है या झूठा। उन्हें शक्ल से अलग नहीं पहचाना जा सकता, सिर्फ़ उनकी बातों से।
दो वाक्यों से शुरू करें। वे तुरंत दिखा देते हैं कि ऐसे सवाल कैसे काम करते हैं।
| वाक्य | सच्चा | झूठा | इसका मतलब |
|---|---|---|---|
| “मैं सच्चा हूँ” | ✓ कह सकता है: यह सच है | ✓ कह सकता है: यह झूठ है, जैसी झूठे की बात होनी चाहिए | इससे कुछ पता नहीं चलता: इसे कोई भी कह सकता है। |
| “मैं झूठा हूँ” | ✕ नहीं कह सकता: यह झूठ होगा | ✕ नहीं कह सकता: यह सच होगा | असंभव वाक्य: इसे कोई नहीं कह सकता। |
लगभग हर ऐसा सवाल एक ही तरह से हल होता है: एक द्वीपवासी चुनें, मान लें कि वह सच्चा है या झूठा, और देखें कि उससे क्या निकलता है। नीचे दिए उदाहरण सबसे आसान से ओलंपियाड के स्तर तक जाते हैं।
उदाहरण 1 · कक्षा 3–4
दो द्वीपवासी, A और B, एक रास्ते पर मिलते हैं। A कहता है: “मैं झूठा हूँ, और B सच्चा है।” कौन क्या है?
मान लेते हैं कि A सच्चा है। तब उसकी बात सच है, और A झूठा है। पर हमने माना था कि A सच्चा है: विरोधाभास, इसलिए यह स्थिति असंभव है।
मान लेते हैं कि A झूठा है। तब उसकी बात झूठी है। उसका पहला आधा हिस्सा, “मैं झूठा हूँ”, सच है, इसलिए दूसरा आधा झूठा है: B सच्चा नहीं, बल्कि झूठा है। सब मेल खाता है।
जवाब A और B दोनों झूठे हैं।
उदाहरण 2 · कक्षा 3–4
तीन द्वीपवासी, A, B और C, यह कहते हैं। A: “B झूठा है।” B: “C सच्चा है।” C: “A और B दोनों झूठे हैं।” कौन सच्चा है, और कौन झूठा?
शुरुआत कहाँ से करें? उससे, जो सबसे ज़्यादा कहता है, क्योंकि उसकी बात से ज़्यादा कुछ निकलता है। वह C है।
मान लेते हैं कि C सच्चा है। तब A और B दोनों झूठे हैं। पर B ने कहा था “C सच्चा है”, जो सच होता, और झूठा कभी कुछ सच नहीं कहता। विरोधाभास।
तो C झूठा है। तब B का “C सच्चा है” झूठ है, और B भी झूठा है।
A ने कहा “B झूठा है”, और यह सच है। तो A सच्चा है।
जवाब A सच्चा है; B और C झूठे हैं।
उदाहरण 3 · कक्षा 5–6
दस द्वीपवासी एक गोल मेज़ के चारों ओर बैठे हैं। उनमें से हर एक कहता है: “मेरा दाईं ओर वाला पड़ोसी झूठा है।” मेज़ पर कितने सच्चे हैं?
अगर द्वीपवासी सच्चा है, तो उसकी बात सच है: दाईं ओर वाला पड़ोसी झूठा है।
अगर द्वीपवासी झूठा है, तो उसकी बात झूठी है: दाईं ओर वाला पड़ोसी सच्चा है।
तो मेज़ के चारों ओर सच्चे और झूठे बारी-बारी से बैठे हैं: स, झ, स, झ… दस में से ठीक आधे सच्चे हैं: 5 सच्चे।
जवाब 5 सच्चे।
MathTrail हर गलत जवाब को उस जाल से समझाता है जिसमें वह फँसा। इस विषय के सबसे आम जाल ये हैं, और हर एक के साथ बच्चे से कहने लायक एक बात।
स और झ लिख दिए जाते हैं, पर हर वाक्य को एक बार फिर नहीं जाँचा जाता, और उनमें से एक मेल नहीं खाता।
क्या कहें
“हर वाक्य फिर से पढ़ो। वह सच है या झूठ, और उसे किसने कहा?”
द्वीपवासी की बात पर यह पूछे बिना भरोसा कर लिया जाता है कि उसे किसने कहा: A ने B को झूठा कहा, तो B झूठा ही होगा।
क्या कहें
“और अगर यह झूठे ने कहा हो? तब सच क्या है?”
पहले द्वीपवासी का पता चलते ही हल वहीं रुक जाता है, और बाकियों के बारे में कुछ तय नहीं होता।
क्या कहें
“अच्छा, A झूठा है। इससे B के बारे में क्या पता चलता है?”
आप झूठे की भूमिका निभाएँ, और बच्चा आपसे सवाल पूछे। जल्द ही बच्चे को समझ आ जाता है कि “क्या आपकी बात झूठी है?” का आपका जवाब हमेशा “नहीं” होता है।
जवाब के बजाय एक सवाल: “और अगर वह सच्चा हो, तो फिर क्या?” यही इस विषय का मुख्य विचार है।
हर नाम के ऊपर एक मानी गई बात। विरोधाभास? उसे मिटाएँ और दूसरी आज़माएँ।
“सच्चे और झूठे” विषय पर एक सवाल दें