MathTrailالمنطقالصفوف 3–6
على جزيرة يعيش فرسان يقولون الصدق دائمًا، وكذابون يكذبون دائمًا، وهذا ما يُعرف أيضًا بلغز الصادق والكاذب. ومن أقوالهم يجب معرفة من هو من. وهذه لكثير من الأطفال أول تجربة مع التفكير المنطقي الحقيقي: وضع افتراض، وتتبّع ما يؤدي إليه، وملاحظة التناقض.
يقول الصدق دائمًا. كل قول للفارس صادق، بلا استثناء.
يكذب دائمًا. كل قول للكذاب كاذب، ولا يقول الكذاب الصدق أبدًا، ولا حتى مصادفة.
كل ساكن من سكان الجزيرة إما فارس وإما كذاب. ولا يمكن التمييز بينهم بالمظهر، بل بالكلام فقط.
ابدؤوا بجملتين. فهما تبيّنان فورًا كيف تعمل هذه المسائل.
| الجملة | الفارس | الكذاب | ماذا يعني ذلك |
|---|---|---|---|
| «أنا فارس» | ✓ يمكنه قولها: إنها صدق | ✓ يمكنه قولها: إنها كذب، كما ينبغي لكلام الكذاب | لا تفيد بشيء: أي أحد يمكن أن يقولها. |
| «أنا كذاب» | ✕ لا يمكنه: ستكون كذبًا | ✕ لا يمكنه: ستكون صدقًا | جملة مستحيلة: لا أحد يستطيع قولها. |
تُحل كل هذه المسائل تقريبًا بالطريقة نفسها: يُختار أحد سكان الجزيرة، ويُفترض نوعه، ثم يُنظر فيما يترتب على ذلك. تتدرّج الأمثلة أدناه من الأبسط إلى مستوى الأولمبياد.
مثال 1 · الصفوف 3–4
يلتقي اثنان من سكان الجزيرة، أ و ب، على طريق. يقول أ: «أنا كذاب، و ب فارس». من هو من؟
لنفترض أن أ فارس. إذن كلامه صادق، أي إن أ كذاب. لكننا افترضنا أن أ فارس: تناقض، إذن هذه الحالة مستحيلة.
لنفترض أن أ كذاب. إذن كلامه كاذب. ونصفه الأول، «أنا كذاب»، صادق، إذن النصف الثاني كاذب: ب ليس فارسًا بل كذاب. كل شيء ينسجم.
الإجابة أ و ب كلاهما كذاب.
مثال 2 · الصفوف 3–4
يقول ثلاثة من سكان الجزيرة، أ و ب و ج، ما يلي. أ: «ب كذاب». ب: «ج فارس». ج: «أ و ب كلاهما كذاب». من منهم فارس، ومن منهم كذاب؟
من أين نبدأ؟ بمن يقول أكثر من غيره، لأن ما يترتب على كلامه أكثر. وهو ج.
لنفترض أن ج فارس. إذن أ و ب كلاهما كذاب. لكن ب قال «ج فارس»، وهذا سيكون صدقًا، والكذاب لا يقول الصدق أبدًا. تناقض.
إذن ج كذاب. وعليه فقول ب «ج فارس» كاذب، فيكون ب كذابًا أيضًا.
قال أ «ب كذاب»، وهذا صدق. إذن أ فارس.
الإجابة أ فارس؛ أما ب و ج فكذابان.
مثال 3 · الصفوف 5–6
يجلس عشرة من سكان الجزيرة حول مائدة مستديرة. ويقول كل منهم: «جاري على اليمين كذاب». كم فارسًا حول المائدة؟
إذا كان الساكن فارسًا، فكلامه صادق: جاره على اليمين كذاب.
وإذا كان كذابًا، فكلامه كاذب: جاره على اليمين فارس.
إذن يتناوب الفرسان والكذابون حول المائدة: ف، ك، ف، ك… ونصف العشرة بالضبط فرسان: 5 فرسان.
الإجابة 5 فرسان.
يشرح MathTrail كل إجابة خاطئة بالفخ الذي وقعت فيه. وهذه أكثر الفخاخ شيوعًا في هذا الموضوع، ومع كل منها ما يمكن قوله لطفلكم.
كتابة ف و ك دون المرور على كل الجمل مرة أخرى، وإحدى الجمل لا تنسجم مع ما كُتب.
ما يمكن قوله
«لنقرأ كل جملة من جديد. هل هي صادقة أم كاذبة، ومن قالها؟»
تصديق كلام ساكن الجزيرة دون السؤال عمّن قاله: قال أ إن ب كذاب، إذن ب كذاب حتمًا.
ما يمكن قوله
«وماذا لو قاله كذاب؟ ما الصحيح عندئذ؟»
معرفة نوع الساكن الأول والتوقف عند ذلك، وترك الباقين دون حسم.
ما يمكن قوله
«جيد، أ كذاب. فماذا يخبرنا ذلك عن ب؟»
تؤدّون دور الكذاب، والأسئلة على الطفل. وسرعان ما يتضح للطفل أن جوابكم عن «هل هذا الكلام كذب؟» هو دائمًا «لا».
بدل الإجابة، سؤال: «وإذا كان فارسًا، فماذا بعد؟». وهذه هي الفكرة الأساسية في هذا الموضوع.
فوق كل اسم افتراض. ظهر تناقض؟ امحوه وجرّبوا الافتراض الآخر.
أعطني مسألة في موضوع «الفرسان والكذابون»