LogiqueNiveaux 3–6

Chevaliers et menteurs

Sur l’île aux menteurs vivent des chevaliers, qui disent toujours la vérité, et des menteurs, qui mentent toujours. D’après ce qu’ils disent, il faut trouver qui est qui. Pour beaucoup d’enfants, c’est leur première rencontre avec un vrai raisonnement logique : faire une hypothèse, voir où elle mène et repérer une contradiction.

L’idée clé: « Supposons que celui-ci soit un chevalier… »
Ce qu’on y apprend: À raisonner pas à pas et à vérifier son raisonnement

Les règles de l’île

Chevalier
Dit toujours la vérité. Chaque affirmation d’un chevalier est vraie, sans exception.
Menteur
Ment toujours. Chaque affirmation d’un menteur est fausse, et un menteur ne dit jamais la vérité, pas même par hasard.
Personne d’autre
Chaque habitant de l’île est soit un chevalier, soit un menteur. On ne peut pas les distinguer à leur apparence, seulement à leurs paroles.

Qui peut dire quoi

Commencez par deux phrases. Elles montrent tout de suite comment fonctionnent ces problèmes.

Phrase	Chevalier	Menteur	Ce que cela signifie
« Je suis un chevalier »	✓ Peut la dire : c’est vrai	✓ Peut la dire : c’est un mensonge, comme doivent l’être les paroles d’un menteur	Elle n’apprend rien : n’importe qui peut la dire.
« Je suis un menteur »	✕ Ne peut pas : ce serait un mensonge	✕ Ne peut pas : ce serait la vérité	Une phrase impossible : personne ne peut la dire.

Comment le résoudre : « supposons que… »

Presque tous ces problèmes se résolvent de la même façon : on choisit un habitant, on suppose ce qu’il est, et on regarde ce qui en découle. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.

Supposer
En tirer les conséquences
Trouver une contradiction, ou vérifier la réponse

Exemple 1 · Niveaux 3–4

Deux sur la route

Deux habitants de l’île, A et B, se rencontrent sur une route. A dit : « Je suis un menteur et B est un chevalier. » Qui est qui ?

Supposons que A soit un chevalier. Alors ses paroles sont vraies, et A est un menteur. Or on a supposé que A est un chevalier : c’est une contradiction, donc ce cas est impossible.
Supposons que A soit un menteur. Alors ses paroles sont fausses. Leur première moitié, « Je suis un menteur », est vraie, donc la seconde est fausse : B n’est pas un chevalier, mais un menteur. Tout concorde.

Réponse A et B sont tous les deux menteurs.

Exemple 2 · Niveaux 3–4

Une chaîne d’accusations

Trois habitants de l’île, A, B et C, disent ceci. A : « B est un menteur. » B : « C est un chevalier. » C : « A et B sont tous les deux menteurs. » Qui est un chevalier, et qui est un menteur ?

Par où commencer ? Par celui qui en dit le plus, puisque ses paroles ont le plus de conséquences. Ici, c’est C.
Supposons que C soit un chevalier. Alors A et B sont tous les deux menteurs. Mais B a dit « C est un chevalier », ce qui serait vrai, et un menteur ne dit jamais rien de vrai. Contradiction.
C est donc un menteur. Alors le « C est un chevalier » de B est faux, et B est lui aussi un menteur.
A a dit « B est un menteur », et c’est vrai. Donc A est un chevalier.

Réponse A est un chevalier ; B et C sont des menteurs.

Exemple 3 · Niveaux 5–6

La table ronde

Dix habitants de l’île sont assis autour d’une table ronde. Chacun d’eux dit : « Mon voisin de droite est un menteur. » Combien y a-t-il de chevaliers à la table ?

Si un habitant est un chevalier, ses paroles sont vraies : son voisin de droite est un menteur.
Si un habitant est un menteur, ses paroles sont fausses : son voisin de droite est un chevalier.
Chevaliers et menteurs alternent donc autour de la table : V, M, V, M… Exactement la moitié des dix sont des chevaliers : 5 chevaliers.

Réponse 5 chevaliers.

Où les enfants se trompent

MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.

Piège
Oubli d’une des conditions
L’enfant place les V et les M sans reprendre chaque phrase une dernière fois, et l’une d’elles ne concorde pas.
Que lui dire
« Relis chaque phrase. Est-elle vraie ou fausse, et qui l’a dite ? »
Piège
Affirmation acceptée sans vérification
L’enfant croit ce que dit un habitant sans se demander qui l’a dit : A a traité B de menteur, donc B en est forcément un.
Que lui dire
« Et si c’est un menteur qui l’a dit ? Qu’est-ce qui est vrai, alors ? »
Piège
Solution arrêtée à mi-chemin
L’enfant trouve qui est le premier habitant et s’arrête là, sans rien décider pour les autres.
Que lui dire
« Bien, A est un menteur. Qu’est-ce que cela t’apprend sur B ? »

Comment aider à la maison

Jouez à l’île
Vous mentez à chaque réponse, et l’enfant vous pose des questions. Bientôt, l’enfant remarque qu’à « Tu mens ? » vous répondez toujours « Non ».
Questionnez au lieu de dire
Au lieu d’une réponse, une question : « Et si c’est un chevalier, que se passe-t-il ? » C’est l’idée clé du thème.
Écrivez V et M au crayon
Au-dessus de chaque nom, une hypothèse. Une contradiction ? Effacez-la et essayez l’autre.

Chevaliers et menteurs

Les règles de l’île

Chevalier

Menteur

Personne d’autre

Qui peut dire quoi

Comment le résoudre : « supposons que… »

Deux sur la route

Une chaîne d’accusations

La table ronde

Où les enfants se trompent

Oubli d’une des conditions

Affirmation acceptée sans vérification

Solution arrêtée à mi-chemin

Comment aider à la maison

Jouez à l’île

Questionnez au lieu de dire

Écrivez V et M au crayon

À apprendre d’abord

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