ओलंपियाड के सवाल हल करने के तरीके

ओलंपियाड के सवाल को हल करने की कोई बनी-बनाई विधि नहीं होती। उसकी जगह ऐसे तरीके होते हैं, जो एक साथ कई सवालों पर लागू होते हैं। यहाँ सबसे ज़्यादा काम आने वाले 11 तरीके दिए गए हैं, हर एक के साथ एक सवाल, एक चित्र और हल।

हल खोलने से पहले बच्चे के साथ मिलकर सवाल हल करके देखें। सबसे ज़रूरी बात यह देखना है कि कौन-सा तरीका काम आया, ताकि अगली बार उसे पहचाना जा सके।

किसी भी सवाल को कहाँ से शुरू करें

तरीका चुनने से पहले चार कदमों से गुज़रना फ़ायदेमंद है। गणितज्ञ जॉर्ज पोल्या ने इन्हें अपनी किताब “How to Solve It” (1945) में बताया था।

सवाल समझना
अपने शब्दों में सवाल दोबारा बताओ। क्या दिया गया है? क्या पूछा गया है?
योजना बनाना
यह तुम्हें किस चीज़ की याद दिलाता है? इस पेज का कौन-सा तरीका आज़माया जा सकता है?
योजना पर अमल करना
कदम-दर-कदम, हर कदम से जो निकले, उसे लिखते हुए।
पीछे मुड़कर जाँचना
जवाब को वापस सवाल में रखकर देखो। क्या सब कुछ ठीक बैठता है? क्या कोई दूसरा जवाब भी हो सकता है?

सवाल को देखना

पहले सवाल को समझना ज़रूरी है। ये तरीके शब्दों को चित्र, सारणी या छोटे उदाहरण में बदल देते हैं।

01

चित्र बनाना

चित्र या आरेख शब्दों को ऐसी चीज़ में बदल देता है, जिसे देखा जा सके। रेखाएँ, बिंदु और तीर काफ़ी हैं; चित्र का सुंदर होना ज़रूरी नहीं।

कब काम आता है: “… से इतना ज़्यादा”, उम्र, सफ़र, पूरे के हिस्से।

सवाल · कक्षा 1–2

भाई अपनी बहन से 4 साल बड़ा है। दोनों की उम्र मिलाकर 16 साल है। भाई कितने साल का है?

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बहन की उम्र को एक पट्टी की तरह बनाते हैं, और भाई की उम्र को वैसी ही पट्टी और 4 साल ज़्यादा।
ज़्यादा वाले 4 साल हटा देते हैं: 16 − 4 = 12। ये दो बराबर पट्टियाँ हैं।
एक पट्टी 12 ÷ 2 = 6 साल है: यह बहन की उम्र है। भाई 6 + 4 = 10 साल का है।

आरेख वह दिखाता है, जिसे दिमाग में रखना मुश्किल है: ज़्यादा वाले चार साल के बिना भाई और बहन की उम्र बराबर है।

जवाब भाई 10 साल का है।

विषयों में:कैलेंडर और उम्र

02

सारणी बनाना

जब सुराग बहुत हों, तो उन्हें दिमाग में रखना मुश्किल होता है। सारणी उन्हें आपके लिए सँभाल लेती है: हर सुराग एक क्रॉस है, और जिस पंक्ति में एक ही खाली खाना बचे, वहीं जवाब है।

कब काम आता है: कई लोग, कई चीज़ें, और “नहीं” वाले सुराग।

सवाल · कक्षा 1–2

अदिति, मोहन और वर्षा के पास एक बिल्ली, एक कुत्ता और एक तोता है, हर एक के पास एक जानवर। अदिति बिल्ली नहीं पालती। मोहन कुत्तों से डरता है। बिल्ली मोहन के पास नहीं रहती। किसके पास कौन-सा जानवर है?

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हर सुराग के लिए क्रॉस लगाते हैं: अदिति, बिल्ली नहीं; मोहन, कुत्ता नहीं; बिल्ली, मोहन के पास नहीं।
मोहन के लिए एक ही खाना बचा: तोता। तो तोता न अदिति के पास है, न वर्षा के पास।
अदिति के लिए कुत्ता बचता है, और वर्षा के लिए बिल्ली।

खाने में लिखी छोटी संख्या हल का वह कदम है, जिस पर उस खाने में निशान लगाया गया।

जवाब अदिति के पास कुत्ता है, मोहन के पास तोता, वर्षा के पास बिल्ली।

विषयों में:क्रम में लगाना

03

छोटी संख्याओं से शुरू करना

विशेष स्थिति

जब संख्याएँ बड़ी हों और समझ न आए कि कहाँ से शुरू करें, तो वही सवाल छोटी संख्याओं के साथ हल करें। नियम पहचानें, फिर उसे बड़ी संख्याओं पर लगाएँ।

कब काम आता है: बड़ी संख्याएँ, “सौ”, “हज़ार”, लंबी पंक्तियाँ।

सवाल · कक्षा 3–4

100 मीटर लंबी सड़क के किनारे खंभे लगाए जाते हैं, हर 5 मीटर पर एक, दोनों सिरों पर भी। कितने खंभे चाहिए?

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सौ मीटर का चित्र नहीं बनाया जा सकता, इसलिए 10 मीटर की सड़क लेते हैं। खंभे 0, 5 और 10 मीटर पर: 2 अंतरालों के लिए 3 खंभे।
15 और 20 मीटर के लिए भी यही बात है: खंभे हमेशा अंतरालों से एक ज़्यादा होते हैं।
100 मीटर पर 100 ÷ 5 = 20 अंतराल हैं, इसलिए खंभे 21 हैं।

नियम छोटी सड़क पर ही दिख जाता है; फिर उसे सौ मीटर पर लगाना काफ़ी है।

जवाब 21 खंभे।

विषयों में:अंतराल और किनारे

जवाब ढूँढना

जब साफ़ हो जाए कि क्या हो रहा है, तो ये तरीके रास्ते में कुछ भी खोए बिना जवाब तक ले जाते हैं।

04

तय क्रम में सूची बनाना

बेतरतीब ढंग से सूची बनाने पर कुछ न कुछ ज़रूर छूट जाता है या दो बार गिना जाता है। तय क्रम वाली सूची सिलसिलेवार बनती है: पहले एक विशेषता के हिसाब से, फिर अगली के हिसाब से। इसके लिए पेड़ जैसा चित्र (वृक्ष आरेख) काम का है।

कब काम आता है: “कितने तरीकों से”, “कितनी संख्याएँ”, “सभी विकल्प लिखो”।

सवाल · कक्षा 1–2

अंक 2, 4, 6 और 8 से दो अंकों की कितनी अलग-अलग संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, अगर एक संख्या में कोई अंक दो बार न आए?

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एक क्रम चुनते हैं: पहले दहाई का अंक, फिर इकाई का।
दहाई का अंक 2, 4, 6 या 8 है। हर एक के बाद इकाई के लिए तीन दूसरे अंक बचते हैं।
इन्हें शाखा-दर-शाखा लिखते हैं: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86। कोई संख्या नहीं छूटी, और कोई दोहराई नहीं गई।

वृक्ष आरेख में कुछ नहीं छूटता: हर पहले अंक की अपनी शाखाएँ हैं।

जवाब 12 संख्याएँ।

विषयों में:सभी विकल्प गिनना

05

अंत से शुरू करना

उलटे क्रम में हल करना

जब कहानी का अंत पता हो और पूछा जाए कि शुरुआत कैसी थी, तो पीछे की ओर चलें। हर क्रिया को उसकी उलटी क्रिया में बदलें: “खाया” को “वापस रखा” में, “गुणा किया” को “भाग दिया” में।

कब काम आता है: अंत में क्या निकला, यह पता है, और ढूँढना है कि शुरू में क्या था।

सवाल · कक्षा 3–4

एक कटोरे में कुछ सेब थे। तनु ने उनमें से आधे खा लिए। फिर राहुल ने बचे हुए सेबों में से आधे खाए, और एक सेब और। 2 सेब बचे। शुरू में कितने सेब थे?

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जो पता है, वहीं से शुरू करते हैं: अंत में 2 सेब थे।
राहुल से पहले: वह एक सेब वापस रखते हैं, 2 + 1 = 3। यह आधा था, तो 6 थे।
तनु से पहले: 6 आधा था, तो 12 थे। जाँच: 12 → 6 → 6 − 3 − 1 = 2।

दाएँ से बाएँ चलते हैं और सब कुछ उलटा करते हैं: “आधे खाए” की जगह “2 से गुणा करना”, “एक और खाया” की जगह “1 जोड़ना”।

जवाब 12 सेब।

विषयों में:पेचीदा अंकगणित तौलना और उड़ेलना जीतने की रणनीति वाले खेल

06

मान लेना कि सब एक जैसे हैं

मान लेने का तरीका

जब सवाल में दो तरह की चीज़ें हों, तो कल्पना करें कि सब एक ही तरह की हैं। गिनें कि जवाब कितना दूर रह गया, फिर दिख जाएगा कि कितनी चीज़ें बदलनी हैं।

कब काम आता है: दो तरह की चीज़ें, जिनकी कुल संख्या पता है: सिर और पैर, दो अलग-अलग मूल्य के सिक्के।

सवाल · कक्षा 3–4

एक आँगन में मुर्गियाँ और खरगोश घूम रहे हैं। उनके कुल मिलाकर 10 सिर और 28 पैर हैं। आँगन में कितने खरगोश हैं?

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मान लेते हैं कि सभी 10 मुर्गियाँ हैं। तब पैर 10 × 2 = 20 होंगे।
असल में पैर 28 हैं: 8 ज़्यादा।
मुर्गी की जगह हर खरगोश 2 पैर बढ़ाता है: 8 ÷ 2 = 4 खरगोश। जाँच: 4 × 4 + 6 × 2 = 28।

पहले ऐसे गिनते हैं मानो सब एक जैसे हों, फिर ठीक उतने बदलते हैं, जितनों से हिसाब बैठ जाए।

जवाब 4 खरगोश।

07

पैटर्न ढूँढना

पहले कुछ कदम देखें और ढूँढें कि क्या दोहराया जा रहा है। दोहराए जाने वाले हिस्से की मदद से बीच का सब कुछ बनाए बिना सीधे बहुत आगे पहुँचा जा सकता है।

कब काम आता है: पैटर्न, पंक्तियाँ, कैलेंडर: “बीसवाँ कौन-सा होगा”, “सौवाँ कौन-सा होगा”।

सवाल · कक्षा 1–2

झंडे इस क्रम में टँगे हैं: लाल, पीला, हरा, नीला, फिर दोबारा लाल, पीला, हरा, नीला, और इसी तरह आगे। 23वाँ झंडा किस रंग का है?

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दोहराया जाने वाला हिस्सा ढूँढते हैं: लाल, पीला, हरा, नीला, यानी चार झंडे।
23 झंडों में चार-चार के 5 पूरे समूह हैं, यानी 20 झंडे, और फिर 3 और।
23वाँ झंडा अपने चार के समूह में तीसरा है, और तीसरा हमेशा हरा होता है।

तेईस झंडे बनाने की ज़रूरत नहीं: इतना देखना काफ़ी है कि झंडा अपने चार के समूह में किस जगह पर है।

जवाब हरा।

विषयों में:सम-विषम और बारी-बारी कैलेंडर और उम्र

सिद्ध करना

ओलंपियाड में अक्सर सवाल “कितने” का नहीं, बल्कि “क्या ऐसा हो सकता है” का होता है। तब गिनना काफ़ी नहीं: समझाना पड़ता है कि इसके सिवा कुछ और क्यों नहीं हो सकता।

08

उलटा मान लेना

विरोधाभास से प्रमाण

यह सिद्ध करने के लिए कि कुछ नहीं हो सकता, मान लें कि वह हो सकता है, और तर्क को तब तक आगे बढ़ाएँ, जब तक कोई विरोधाभास सामने न आ जाए। “सच्चे और झूठे” विषय के लगभग सभी सवाल ऐसे ही हल होते हैं।

कब काम आता है: “क्या ऐसा हो सकता है”, “सिद्ध करो कि यह असंभव है”, कौन सच बोल रहा है।

सवाल · कक्षा 3–4

एक द्वीप पर सच्चे रहते हैं, जो हमेशा सच बोलते हैं, और झूठे, जो हमेशा झूठ बोलते हैं। अदिति ने कहा: “मोहन झूठा है।” मोहन ने कहा: “अदिति और मैं, दोनों सच्चे हैं।” कौन क्या है?

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मान लेते हैं कि मोहन सच्चा है। तब उसकी बात सच है, और अदिति भी सच्ची है। पर सच्ची अदिति ने कहा कि मोहन झूठा है। विरोधाभास।
तो मोहन झूठा है, और उसकी बात झूठी है: यह सच नहीं कि अदिति और वह दोनों सच्चे हैं। यह ठीक बैठता है।
अदिति ने कहा “मोहन झूठा है”, और यह सच है। सच सिर्फ़ सच्चे बोलते हैं, इसलिए अदिति सच्ची है।

एक रास्ता बंद गली में ले जाता है, इसलिए दूसरा सही है।

जवाब अदिति सच्ची है, और मोहन झूठा है।

विषयों में:सच्चे और झूठे

09

सम-विषम पर नज़र रखना

कभी-कभी सब कुछ जानना ज़रूरी नहीं: इतना जानना काफ़ी है कि संख्या सम है या विषम। अगर कोई चीज़ हर कदम पर सम और विषम के बीच बदलती है, तो कदमों की संख्या तुरंत बता देती है कि कहाँ पहुँचा जा सकता है और कहाँ नहीं।

कब काम आता है: छलाँगें, चालें, अदला-बदली, “एक छोड़कर एक”, “क्या ऐसा निकल सकता है”।

सवाल · कक्षा 3–4

एक टिड्डा संख्या रेखा पर शून्य पर बैठा है। हर छलाँग उसे ठीक 1 बाईं या दाईं ओर ले जाती है। क्या 5 छलाँगों के बाद वह फिर से शून्य पर हो सकता है?

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खानों को बारी-बारी से रंगते हैं: सम और विषम।
हर छलाँग रंग बदल देती है: सम खाने से विषम पर, और फिर वापस।
5 छलाँगों के बाद, यानी विषम संख्या के बाद, टिड्डा ज़रूर किसी विषम खाने पर होगा, और शून्य सम है।

यह देखने की ज़रूरत नहीं कि टिड्डा ठीक-ठीक कहाँ गया: उसके खाने के रंग पर नज़र रखना काफ़ी है।

जवाब नहीं, ऐसा नहीं हो सकता।

विषयों में:सम-विषम और बारी-बारी

10

कबूतर और खाने

कबूतरखाना सिद्धांत

अगर कबूतर खानों से ज़्यादा हों, तो किसी न किसी खाने में कम से कम दो कबूतर होंगे। यह बात साफ़-सी लगती है, फिर भी इससे वे बातें सिद्ध होती हैं, जिन्हें जाँचना असंभव लगता है।

कब काम आता है: “सिद्ध करो कि ज़रूर होगा”, “कम से कम दो”, “पक्के तौर पर”।

सवाल · कक्षा 3–4

पासा कितनी बार फेंकना होगा, ताकि यह पक्का हो कि कोई न कोई संख्या कम से कम दो बार आएगी?

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पासे पर 6 संख्याएँ हैं: ये 6 “खाने” हैं। हर बार पासा फेंकना एक “कबूतर” है।
6 बार फेंकने के बाद भी सारी संख्याएँ अलग-अलग हो सकती हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6।
सातवीं बार फेंकने पर कोई खाली खाना नहीं बचता: कोई संख्या दूसरी बार आती है। तो 7 बार फेंकना होगा।

पहली छह बार सारी संख्याएँ अलग-अलग आएँ, तब भी सातवीं बार उनमें से कोई एक संख्या दोबारा आएगी ही।

जवाब 7 बार फेंकना।

विषयों में:कबूतरखाना सिद्धांत

11

चालों को आईने की तरह दोहराना

सममित रणनीति

दो खिलाड़ियों वाले खेलों में अक्सर जीत उसी की होती है, जो सामने वाले की चालों को आईने की तरह दोहरा सके। तब आपके पास हमेशा जवाबी चाल रहती है, जब तक सामने वाले के पास कोई चाल हो।

कब काम आता है: दो खिलाड़ियों वाले खेल: “सही खेलने पर कौन जीतेगा”।

सवाल · कक्षा 5–6

एक पट्टी में 9 खाने हैं। दो खिलाड़ी बारी-बारी से किसी ऐसे खाली खाने में गोटी रखते हैं, जो किसी भरे खाने के बगल में न हो। जो गोटी न रख पाए, उसकी हार। पहले खिलाड़ी को पहली गोटी कहाँ रखनी चाहिए, ताकि सामने वाला चाहे जैसे खेले, जीत उसी की हो?

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पहली चाल में गोटी बीच वाले, यानी पाँचवें खाने में रखते हैं।
सामने वाले की हर चाल का जवाब उसकी आईने वाली चाल से देते हैं: बीच के उस पार, ठीक उलटी ओर का खाना।
अगर सामने वाले का खाना खाली था और किसी गोटी के बगल में नहीं था, तो उसका आईने वाला खाना भी ऐसा ही है। इसलिए चालें पहले सामने वाले की खत्म होती हैं।

पट्टी का बीच एक ही है, और बाकी हर खाने का एक आईने वाला खाना है। इसीलिए पहले खिलाड़ी की चालें कभी खत्म नहीं होतीं।

जवाब बीच में, 5वें खाने में, और फिर हर चाल को आईने की तरह दोहराना।

विषयों में:जीतने की रणनीति वाले खेल

कौन-सा तरीका आज़माएँ

यह सवाल के शब्दों से मिलने वाला इशारा है, नियम नहीं: कई सवाल एक साथ दो तरीकों से हल हो जाते हैं।

अगर सवाल में……तो आज़माएँ

“… से इतना ज़्यादा”, उम्र, पूरे के हिस्से: 01चित्र बनाना
कई लोग, चीज़ें और “नहीं” वाले सुराग: 02सारणी बनाना
बड़ी संख्याएँ, और समझ नहीं आता कि कहाँ से शुरू करें: 03छोटी संख्याओं से शुरू करना
“कितने तरीकों से”, “कितनी संख्याएँ”: 04तय क्रम में सूची बनाना
अंत पता है, और सवाल शुरुआत के बारे में है: 05अंत से शुरू करना
दो तरह की चीज़ें और उनकी कुल संख्या: 06मान लेना कि सब एक जैसे हैं
कुछ दोहराया जाता है: “बीसवाँ कौन-सा होगा”: 07पैटर्न ढूँढना
“क्या ऐसा हो सकता है”, “सिद्ध करो कि यह असंभव है”: 08उलटा मान लेना 09सम-विषम पर नज़र रखना
“पक्के तौर पर”, “कम से कम दो”: 10कबूतर और खाने
दो खिलाड़ियों का खेल: “कौन जीतेगा”: 11चालों को आईने की तरह दोहराना

ओलंपियाड के सवाल हल करने के तरीके

किसी भी सवाल को कहाँ से शुरू करें

सवाल समझना

योजना बनाना

योजना पर अमल करना

पीछे मुड़कर जाँचना

सवाल को देखना

चित्र बनाना

सारणी बनाना

छोटी संख्याओं से शुरू करना

जवाब ढूँढना

तय क्रम में सूची बनाना

अंत से शुरू करना

मान लेना कि सब एक जैसे हैं

पैटर्न ढूँढना

सिद्ध करना

उलटा मान लेना

सम-विषम पर नज़र रखना

कबूतर और खाने

चालों को आईने की तरह दोहराना

कौन-सा तरीका आज़माएँ