LógicaAnos 3–6

Cavaleiros e mentirosos

Numa ilha vivem cavaleiros, que sempre dizem a verdade, e mentirosos, que sempre mentem. Pelo que eles dizem, é preciso descobrir quem é quem. Para muitas crianças, este é o primeiro contato com um raciocínio lógico de verdade: fazer uma suposição, seguir aonde ela leva e perceber uma contradição.

A ideia-chave: “Suponha que este seja cavaleiro…”
O que ensina: A raciocinar passo a passo e a conferir as próprias conclusões

As regras da ilha

Cavaleiro
Sempre diz a verdade. Toda afirmação de um cavaleiro é verdadeira, sem exceção.
Mentiroso
Sempre mente. Toda afirmação de um mentiroso é falsa, e um mentiroso nunca diz a verdade, nem por acaso.
Ninguém mais
Todo habitante da ilha é cavaleiro ou mentiroso. Não dá para distingui-los pela aparência, só pelo que dizem.

Quem pode dizer o quê

Comece por duas frases. Elas mostram na hora como esses problemas funcionam.

Frase	Cavaleiro	Mentiroso	O que significa
“Sou cavaleiro”	✓ Pode dizer: é verdade	✓ Pode dizer: é mentira, como devem ser as palavras de um mentiroso	Não revela nada: qualquer um pode dizer isso.
“Sou mentiroso”	✕ Não pode: seria mentira	✕ Não pode: seria verdade	Uma frase impossível: ninguém pode dizer isso.

Como resolver: “suponha que…”

Quase todo problema desse tipo se resolve do mesmo jeito: escolha um habitante da ilha, suponha o que ele é e veja o que decorre disso. Os exemplos abaixo vão do mais simples a um de olimpíada.

Supor
Descobrir o que decorre disso
Achar uma contradição ou conferir a resposta

Exemplo 1 · Anos 3–4

Dois na estrada

Dois habitantes da ilha, A e B, se encontram numa estrada. A diz: “Sou mentiroso e B é cavaleiro.” Quem é quem?

Suponha que A seja cavaleiro. Então as palavras são verdadeiras, e A é mentiroso. Mas supusemos que A é cavaleiro: uma contradição, então esse caso é impossível.
Suponha que A seja mentiroso. Então as palavras são falsas. A primeira metade, “Sou mentiroso”, é verdadeira, então a segunda metade é falsa: B não é cavaleiro, e sim mentiroso. Tudo confere.

Resposta A e B são ambos mentirosos.

Exemplo 2 · Anos 3–4

Uma cadeia de acusações

Três habitantes da ilha, A, B e C, dizem o seguinte. A: “B é mentiroso.” B: “C é cavaleiro.” C: “A e B são ambos mentirosos.” Quem é cavaleiro e quem é mentiroso?

Por onde começar? Por quem diz mais, porque o que ele diz leva a mais conclusões. É C.
Suponha que C seja cavaleiro. Então A e B são ambos mentirosos. Mas B disse “C é cavaleiro”, o que seria verdade, e um mentiroso nunca diz nada verdadeiro. Uma contradição.
Logo, C é mentiroso. Então o “C é cavaleiro” de B é falso, e B também é mentiroso.
A disse “B é mentiroso”, e isso é verdade. Logo, A é cavaleiro.

Resposta A é cavaleiro; B e C são mentirosos.

Exemplo 3 · Anos 5–6

A mesa redonda

Dez habitantes da ilha estão sentados a uma mesa redonda. Cada um deles diz: “Meu vizinho da direita é mentiroso.” Quantos cavaleiros há à mesa?

Se um habitante é cavaleiro, as palavras são verdadeiras: o vizinho da direita é mentiroso.
Se um habitante é mentiroso, as palavras são falsas: o vizinho da direita é cavaleiro.
Então cavaleiros e mentirosos se alternam em volta da mesa: V, M, V, M… Exatamente metade dos dez são cavaleiros: 5 cavaleiros.

Resposta 5 cavaleiros.

Onde as crianças erram

O MathTrail explica cada resposta errada pela armadilha em que ela caiu. Estas são as mais comuns neste tema, com algo que você pode dizer à criança.

Armadilha
Condição esquecida
A criança marca V e M e não passa por todas as frases mais uma vez, e uma delas não confere.
O que dizer
“Leia cada frase de novo. Ela é verdadeira ou falsa, e quem disse?”
Armadilha
Afirmação aceita sem verificação
A criança acredita no que um habitante da ilha diz sem perguntar quem disse: A chamou B de mentiroso, então B deve ser mentiroso.
O que dizer
“E se quem disse foi um mentiroso? O que é verdade, então?”
Armadilha
Solução interrompida no meio do caminho
A criança descobre quem é o primeiro habitante e para por aí, sem decidir quem são os outros.
O que dizer
“Muito bem, A é mentiroso. E o que isso diz sobre B?”

Como ajudar em casa

Brinque de ilha
Você sempre mente, e a criança faz perguntas para você. Logo a criança percebe que, para “Você mente?”, você sempre responde “Não”.
Pergunte em vez de responder
Em vez de uma resposta, uma pergunta: “E se ele for cavaleiro, o que acontece?” Essa é a ideia-chave do tema.
Escreva V e M a lápis
Sobre cada nome, uma suposição. Deu contradição? Apague e tente a outra.

Cavaleiros e mentirosos

As regras da ilha

Cavaleiro

Mentiroso

Ninguém mais

Quem pode dizer o quê

Como resolver: “suponha que…”

Dois na estrada

Uma cadeia de acusações

A mesa redonda

Onde as crianças erram

Condição esquecida

Afirmação aceita sem verificação

Solução interrompida no meio do caminho

Como ajudar em casa

Brinque de ilha

Pergunte em vez de responder

Escreva V e M a lápis

Aprender antes

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