MathTrail論理3–6年生
ある島には、いつも本当のことを言う正直者と、いつもうそを言ううそつきが住んでいます。うそつき問題とも呼ばれるこのパズルでは、住人たちの言葉から、だれが正直者で、だれがうそつきかを見分けなければなりません。多くの子どもにとって、これが本格的な論理的推論との最初の出会いになります。仮定を立て、そこから何が導かれるかをたどり、矛盾に気づくのです。
いつも本当のことを言います。正直者の発言は、例外なくすべて本当です。
いつもうそを言います。うそつきの発言はすべてうそで、たまたま本当のことを言うことも決してありません。
島の住人は、だれもが正直者かうそつきのどちらかです。見た目では区別できず、言葉でしか見分けられません。
まず、次の2つの発言から始めましょう。この種の問題のしくみが、すぐにわかります。
| 発言 | 正直者 | うそつき | 意味 |
|---|---|---|---|
| 「わたしは正直者です」 | ✓ 言える：本当のことだから | ✓ 言える：うそになり、うそつきの言葉にふさわしいから | 何もわからない。だれでも言えるから。 |
| 「わたしはうそつきです」 | ✕ 言えない：うそになってしまうから | ✕ 言えない：本当のことになってしまうから | ありえない発言。だれも言えない。 |
この種の問題は、ほとんどが同じ方法で解けます。住人を1人選び、その人が正直者かうそつきかを仮定して、そこから何が導かれるかを調べます。下の例題は、いちばんやさしい問題から算数オリンピックの問題へと進みます。
例題1 · 3–4年生
島の住人AとBが、道で出会いました。Aは「わたしはうそつきで、Bは正直者です」と言いました。AとBは、それぞれ正直者ですか、うそつきですか。
Aが正直者だと仮定します。すると発言は本当なので、Aはうそつきです。しかし、Aは正直者だと仮定したので、矛盾です。この場合はありえません。
Aがうそつきだと仮定します。すると発言はうそです。前半の「わたしはうそつきです」は本当なので、うそなのは後半です。つまり、Bは正直者ではなく、うそつきです。すべてつじつまが合います。
答え AもBもうそつきです。
例題2 · 3–4年生
島の住人A、B、Cがいます。Aは「Bはうそつきです」、Bは「Cは正直者です」、Cは「AもBもうそつきです」と言いました。だれが正直者で、だれがうそつきですか。
だれから考えるか。いちばん多くのことを言っている人からです。その言葉から、より多くのことが導かれるからです。それはCです。
Cが正直者だと仮定します。するとAもBもうそつきです。しかし、Bは「Cは正直者です」と言っていて、これは本当のことになります。うそつきが本当のことを言うことはありません。矛盾です。
したがって、Cはうそつきです。するとBの「Cは正直者です」はうそなので、Bもうそつきです。
Aは「Bはうそつきです」と言っていて、これは本当です。したがって、Aは正直者です。
答え Aは正直者で、BとCはうそつきです。
例題3 · 5–6年生
丸いテーブルに、島の住人が10人すわっています。どの住人も「わたしの右どなりの人はうそつきです」と言いました。テーブルには正直者が何人いますか。
住人が正直者なら、発言は本当なので、右どなりはうそつきです。
住人がうそつきなら、発言はうそなので、右どなりは正直者です。
つまり、テーブルのまわりでは、正直者とうそつきが交互にすわっています：「正、う、正、う…」。10人のちょうど半分が正直者で、正直者は5人です。
答え 正直者は5人です。
MathTrail は、間違った答えを一つひとつ、どのひっかけにかかったのかから解説します。このテーマでよくあるひっかけを、お子さまへの声かけの例と一緒に紹介します。
子どもが「正」と「う」を書きこんだあと、すべての発言をもう一度確かめないため、発言の1つが合わないままになります。
声かけ
「どの発言も、もう一度読んでみよう。本当？うそ？それを言ったのはだれ？」
子どもが、だれが言ったのかを考えずに、住人の言葉を信じてしまいます。AがBをうそつきだと言ったから、Bはうそつきだ、と決めてしまうのです。
声かけ
「もし、うそつきが言ったのだとしたら？そのとき本当なのは何？」
子どもが、最初の住人がどちらかを見つけたところで止まってしまい、ほかの住人については決めないままにします。
声かけ
「いいね、Aはうそつきだね。そこから、Bについて何がわかる？」
うそつき役になって、お子さまに質問してもらいましょう。やがてお子さまは、「うそつきなの？」と聞くと、いつも「ちがうよ」と返ってくることに気づきます。
答えを教える代わりに、「もしこの人が正直者なら、どうなる？」と問いかけます。これが、このテーマの解き方のカギです。
どの名前の上にも、仮定を書きます。矛盾が出たら、消して、もう一方を試しましょう。
正直者とうそつきの問題を出してください