MathTrailगिनती और गणनाकक्षा 1–6
इन अंकों से कितनी संख्याएँ लिखी जा सकती हैं? कितनी बार हाथ मिलेंगे, कपड़ों के कितने सेट बनेंगे, कतार में खड़े होने के कितने तरीके हैं? गिनती के इन सवालों में हर स्थिति ऐसे क्रम में लिखी जाती है कि कोई छूटे नहीं और कोई दो बार न गिनी जाए। नियम से बनी सूची उन सवालों के लिए बच्चे का पहला औज़ार है, जिनका जवाब अंदाज़े से नहीं निकल सकता।
स्थितियों को लिखने से पहले क्रम में लगाएँ: पहले अक्षर के हिसाब से, फिर दूसरे के हिसाब से। क्रम वाली सूची में छूटी हुई स्थिति एक खाली जगह छोड़ देती है, जो साफ़ दिखती है।
गिनने से पहले तय करें कि दो स्थितियाँ किस बात से अलग होती हैं। रचना और तरुण का हाथ मिलाना एक ही बार गिना जाता है, पर कतार में रचना तरुण से आगे हो या तरुण रचना से आगे, ये दो अलग कतारें हैं।
जब कोई स्थिति एक के बाद एक चुनने से बनती है, पहले कप और फिर तश्तरी, तो गिनती गुणा से करें: 3 कप और 2 तश्तरियों से 3 × 2 = 6 सेट बनते हैं।
तीनों बच्चे वही हैं, A, B और C, पर अलग-अलग सवालों पर गिनती अलग-अलग निकलती है।
| सवाल | क्या क्रम मायने रखता है? | स्थितियाँ |
|---|---|---|
| वे कितने तरीकों से एक कतार में खड़े हो सकते हैं? | हाँ: AB और BA दो अलग कतारें हैं | ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — 6 |
| किसी काम पर कितनी जोड़ियाँ भेजी जा सकती हैं? | नहीं: AB और BA एक ही जोड़ी हैं | AB, AC, BC — 3 |
| एक कप्तान और एक सहायक कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं? | हाँ: कप्तान पहले आता है (बड़े आकार में) | AB, AC, BA, BC, CA, CB — 6 |
पहले एक नियम बनाएँ, कि सूची में पहले क्या आएगा और उसके बाद क्या, फिर उसी नियम से स्थितियाँ लिखें, या जब नियम से कोई पैटर्न दिखने लगे, तो उन्हें गिन लें। नीचे दिए उदाहरण सबसे आसान से ओलंपियाड के स्तर तक जाते हैं।
उदाहरण 1 · कक्षा 1–2
एक झंडे में दो धारियाँ हैं, एक के ऊपर एक। हर धारी लाल, पीली या हरी है, और दोनों धारियों के रंग अलग-अलग हैं। ऐसे कितने अलग-अलग झंडे हैं?
झंडों को ऊपर वाली धारी के हिसाब से क्रम में लगाते हैं। ऊपर लाल हो, तो नीचे वाली पीली या हरी है: दो झंडे।
ऊपर पीली हो, तो नीचे लाल या हरी: दो और। ऊपर हरी हो, तो लाल या पीली: दो और।
ऊपर के लिए 3 रंग, और हर बार नीचे के लिए 2 बचते हैं: 3 × 2 = 6 झंडे।
जवाब 6 झंडे।
उदाहरण 2 · कक्षा 3–4
दो अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनके अंकों में 3 का अंतर हो, जैसे 14 या 30?
दहाई के अंक को 1 से 9 तक लेते हैं, और उसके पास इकाई का हर वह अंक लिखते हैं जो उससे 3 दूर है: 1 → 4; 2 → 5; 3 → 0 और 6; 4 → 1 और 7; और इसी तरह आगे।
दहाई में 3, 4, 5 या 6 हो, तो हर एक से दो संख्याएँ बनती हैं, 3 कम और 3 ज़्यादा। 1, 2, 7, 8 या 9 हो, तो सिर्फ़ एक: दूसरी संख्या अंक नहीं होगी।
4 × 2 + 5 × 1 = 13 संख्याएँ: 14, 25, 30, 36, 41, 47, 52, 58, 63, 69, 74, 85, 96।
जवाब 13 संख्याएँ।
उदाहरण 3 · कक्षा 5–6
सिर्फ़ 1 और 2 अंकों से चार अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ लिखी जा सकती हैं, जिनमें कोई भी दो 2 अगल-बगल न हों?
ये इतनी ज़्यादा हैं कि अंदाज़ा नहीं लगाया जा सकता, इसलिए इन्हें अंक-दर-अंक बनाते हैं। एक अंक: 1 और 2, दो संख्याएँ। दो अंक: 11, 12 और 21, तीन, क्योंकि 22 मान्य नहीं है।
मान्य संख्या 1 पर या 2 पर खत्म होती है। 1 पर खत्म हो, तो वह एक अंक कम वाली किसी भी मान्य संख्या के अंत में 1 लगाकर बनती है। 2 पर खत्म हो, तो उससे पहले का अंक 1 होना चाहिए: वह दो अंक कम वाली किसी भी मान्य संख्या के अंत में 12 लगाकर बनती है। तो हर गिनती अपने से पहले की दो गिनतियों का योग है: तीन अंकों के लिए 3 + 2 = 5, और चार अंकों के लिए 5 + 3 = 8।
सूची बनाकर जाँचते हैं: 1111, 1112, 1121, 1211, 2111, 1212, 2112, 2121, आठ।
जवाब 8 संख्याएँ।
MathTrail हर गलत जवाब को उस जाल से समझाता है जिसमें वह फँसा। इस विषय के सबसे आम जाल ये हैं, और हर एक के साथ बच्चे से कहने लायक एक बात।
स्थितियाँ जैसे-जैसे याद आती हैं, वैसे-वैसे लिखी जाती हैं, और एक छूट जाती है, अक्सर 0 वाली या ऐसी जिसमें कोई अंक दोहराया गया हो।
क्या कहें
“इन्हें किस क्रम में लिखा है? चलो, इन्हें नियम से दोबारा लिखें।”
जहाँ विकल्प गुणा होते हैं, वहाँ जोड़ दिया जाता है, जिससे 3 कमीज़ें और 2 स्कार्फ़ मिलकर 5 हो जाते हैं; या जहाँ जोड़ी चुनी जाती है और कोई अपने ही साथ जोड़ी नहीं बनाता, वहाँ गुणा कर दिया जाता है।
क्या कहें
“एक कमीज़ लो: उससे कितने सेट बनते हैं? और कमीज़ें कितनी हैं?”
रचना का तरुण से हाथ मिलाना और तरुण का रचना से हाथ मिलाना दो बार गिना जाता है, जबकि हाथ एक ही बार मिला।
क्या कहें
“क्या यह वही स्थिति है जो हमारे पास पहले से है?”
बच्चे को किसी खिलौने के लिए दो टोपियाँ और तीन स्कार्फ़ दें, और पूछें कि उसे कितने तरीकों से कपड़े पहनाए जा सकते हैं। फिर सूची माँगें और साथ मिलकर जाँचें।
जब बच्चा स्थितियाँ लिखे, तो पूछें: “इन्हें किस क्रम में लिखा है?” नियम वाली सूची को जाँचा जा सकता है।
कोई ऐसा ताला सोचें जिसका कोड 1, 2 और 3 में से दो अंकों का हो, और बच्चे को पता लगाने दें कि चोर को कितने कोड आज़माने पड़ेंगे।
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