例題1 · 1–2年生
2本のしまの旗
旗に、上下に並んだ2本のしまがあります。しまの色は赤、黄色、緑のどれかで、2本のしまの色はちがいます。旗は何通りできますか。
上のしまの色で、旗を順に並べます。上が赤なら、下は黄色か緑で、旗は2通りです。
上が黄色なら、下は赤か緑で、さらに2通り。上が緑なら、下は赤か黄色で、さらに2通りです。
上の色は3通りで、そのどれでも、下の色は残りの2通りです。3 × 2 = 6通りの旗ができます。
答え 6通りです。
数え上げ1–6年生
場合の数
この数字を使うと、数はいくつ書けるでしょう？握手は何回、服の組み合わせや一列の並び方は何通りあるでしょう？こうした問題では、もれなく、重なりなく数えられる順番で、場合をすべて書き出します。ルールに沿った書き出しは、当てずっぽうでは答えられないほど大きな問いに向かうとき、子どもが最初に手にする道具です。
- 解き方のカギ
- ルールを決めて、場合を書き出す
- 身につく力
- 順序よく取り組み、場合を書き出さずに数えられるときを見分ける力
書き出しのルール
順序よく
書き出す前に、場合を並べる順番を決めます。まず先頭の文字で並べ、先頭が同じものは次の文字で並べます。順序よく並んだ書き出しなら、もれた場合はすき間になって目に見えます。
どの場合も一度だけ
数える前に、何がちがえば別の場合になるのかを決めます。サナとトモの握手は1回ですが、サナがトモの前に並ぶ列と、トモがサナの前に並ぶ列は、ちがう2つの列です。
選び方はかけ算
カップを選び、次に受け皿を選ぶように、続けて選んでできる場合は、かけ算で数えます。カップ3個と受け皿2枚なら、セットは3 × 2 = 6組です。
順番は関係ある？
同じ子どもA、B、Cでも、質問がちがえば、数える場合の数もちがいます。
| 質問 | 順番は関係ある？ | 場合 |
|---|---|---|
| 一列に並ぶ方法は何通り？ | はい：ABとBAは別々の列 | ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA：6通り |
| おつかいに行くペアは何組？ | いいえ：ABとBAは同じペア | AB、AC、BC：3組 |
| リーダーと手伝い係の選び方は何通り？ | はい：リーダーが先（大きいほう） | AB、AC、BA、BC、CA、CB：6通り |
解き方：ルールに沿った書き出し
まず、書き出しで何を最初にし、何を次にするかというルールを決めます。それから、そのルールに沿って場合を書き出すか、ルールからきまりが見えてきたら、それを使って数えます。下の例題は、いちばんやさしい問題から算数オリンピックの問題へと進みます。
- 何がちがえば別の場合になるかを決める
- ルールに沿って場合を書き出す
- 数えるか、続けて選ぶときはかけ算をする
例題2 · 3–4年生
3ちがいの数字
14や30のように、十の位と一の位の数字の差が3である2けたの数は、何個ありますか。
十の位の数字を1から9まで順に見ていき、それぞれの横に、差が3になる一の位の数字をすべて書きます。1 → 4、2 → 5、3 → 0と6、4 → 1と7、というように続けます。
十の位が3、4、5、6のときは、3小さい数字と3大きい数字の2個ずつです。十の位が1、2、7、8、9のときは1個だけです。もう一方は数字にならないからです。
4 × 2 + 5 × 1 = 13個で、14、25、30、36、41、47、52、58、63、69、74、85、96です。
答え 13個です。
例題3 · 5–6年生
2がとなり合わない数
1と2の数字だけを使って、2がとなり合わないように書ける4けたの数は、何個ありますか。
多すぎて当てずっぽうでは数えられないので、けたをふやしながら組み立てます。1けたなら、1と2の2個。2けたなら、22はだめなので、11、12、21の3個です。
条件に合う数は、1か2で終わります。1で終わる数は、条件に合う1けた短い数の後ろに1をつけたものです。2で終わる数は、その前の数字が1でなければならないので、条件に合う2けた短い数の後ろに12をつけたものです。だから、それぞれの個数は直前の2つの個数の和になります。3けたなら3 + 2 = 5個、4けたなら5 + 3 = 8個です。
書き出して確かめます。1111、1112、1121、1211、2111、1212、2112、2121の8個です。
答え 8個です。
つまずきやすいところ
MathTrail は、間違った答えを一つひとつ、どのひっかけにかかったのかから解説します。このテーマでよくあるひっかけを、お子さまへの声かけの例と一緒に紹介します。
- ひっかけ
書き出しで場合が1つもれる
子どもが、思いついた順に場合を書いていき、1つもらしてしまいます。もれるのは、0を使う場合や、同じ数字をくり返す場合が多いです。
声かけ
「どんな順番で書いたの？ルールを決めて、もう一度書いてみよう」
- ひっかけ
計算の種類をまちがえる
選び方がかけ算になるところで、子どもがたし算をしてしまい、シャツ3枚とマフラー2枚で5通りとします。または、ペアを選ぶ場面でかけ算をしてしまい、だれも自分自身とはペアになれないことを見落とします。
声かけ
「シャツを1枚選ぶと、組み合わせは何通り？シャツは全部で何枚ある？」
- ひっかけ
同じものを2回数える
サナがトモと握手するのと、トモがサナと握手するのを、2回の握手として数えてしまいます。本当は1回です。
声かけ
「これは、もうある場合と同じじゃないかな？」
家庭でできること
ぬいぐるみの着せかえ
ぬいぐるみ用のぼうし2つとマフラー3枚をお子さまに渡し、着せ方が何通りあるか聞いてみましょう。それから書き出してもらい、一緒に確かめます。
ルールをたずねる
お子さまが場合を書き出しているときは、「どんな順番で書いているの？」と聞いてみてください。ルールのある書き出しは、確かめることのできる書き出しです。
暗証番号のかぎ
1、2、3の数字でできた2けたの暗証番号のかぎを考えて、どろぼうなら番号を何通り試さなければならないか、お子さまに見つけてもらいましょう。
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