例1 · 5–6年级
兄弟姐妹
在24个孩子里，15人有姐妹，11人有兄弟，6人既有姐妹又有兄弟。既没有姐妹也没有兄弟的孩子有多少个？
画两个相交的圆：“姐妹”和“兄弟”。中间是两样都有的6个孩子。
只有姐妹：15 − 6 = 9。只有兄弟：11 − 6 = 5。
两个圆里：9 + 6 + 5 = 20个孩子。圆外：24 − 20 = 4。
答案 4个孩子。
逻辑5–6年级
容斥原理
有的孩子参加象棋小组，有的去踢足球，有的两样都参加，还有的哪样都不参加。这类重叠问题里的组彼此相交，窍门在于每个人都恰好只数一次。在纸上画两个圆，一道让人糊涂的题就变成了四个数。
- 关键一招
- 画出圆圈，从中间开始填
- 学会什么
- 不重复地计数，并能说出每个数代表什么
两个圆的规则
一相加，就数了两次
把两个组的人数相加，两个组里都有的孩子就被数了两次，每个组各一次。把这些孩子减去一次，每个人就都只数了一次。
有人哪个组都不在
不是每个人都必须在某个组里。全班同学，就是至少在一个组里的人，加上哪个组都不在的人。
不知道中间有多少时
如果题目没有说两个组里都有的有多少人，这个数就只能确定一个范围：两个组共有的人越多，至少在其中一个组里的孩子就越少。
图的四个部分
30名学生：14人在合唱队唱歌，11人参加美术小组，4人两样都参加。从中间往外把图填满。
| 部分 | 人数 | 怎样求出 |
|---|---|---|
| 两组都在 | 4 | 已知 |
| 只在合唱队 | 14 − 4 = 10 | 合唱队去掉两组都在的 |
| 只在美术小组 | 11 − 4 = 7 | 美术小组去掉两组都在的 |
| 两组都不在 | 30 − 10 − 7 − 4 = 9 | 其余所有人 |
解法：从中间往外填
画两个相交的圆。先填中间，也就是两个组里都有的人；再填每个圆去掉中间后的部分；最后填圆外的人。如果没有给出中间的人数，就试试它可能取哪些值，看哪些符合条件。下面的例题由浅入深，从最简单的一直到奥数竞赛题。
- 画出圆圈
- 先填中间，再填其余部分
- 检验各部分加起来正好是所有人
例2 · 5–6年级
苹果和梨
在25个孩子里，18人喜欢苹果，16人喜欢梨。两样都喜欢的孩子最少可能有几个？
要让中间尽可能小，就让喜欢苹果的和喜欢梨的尽量分开。
完全分开的话，需要18 + 16 = 34个位置，可是只有25个孩子：其中34 − 25 = 9人一定同时在两个圆里。
9人是可能的：9人只喜欢苹果，7人只喜欢梨，9人两样都喜欢，一共25人，谁也没落下。
答案 9个孩子。
例3 · 5–6年级
三门课
20名学生中，每人至少喜欢数学、阅读和美术这三门课中的一门。喜欢数学的有12人，喜欢阅读的有10人，喜欢美术的有9人。没有人三门都喜欢。恰好喜欢两门课的学生有多少人？
把三个数相加：12 + 10 + 9 = 31。喜欢一门课的学生，在这个和里被数了一次；喜欢两门课的，被数了两次。
一共有20名学生，所以和里多出了31 − 20 = 11次，被数了两次的学生每人多出一次。
所以恰好喜欢两门课的学生有11人。检验：9人喜欢一门，11人喜欢两门，9 + 2 × 11 = 31。
答案 11名学生。
易错点
MathTrail 会按答错时掉进的陷阱来讲解每一个错误答案。下面是本专题最常见的几种陷阱，并附上您可以对孩子说的话。
- 陷阱
同一样东西数了两次
孩子把两个组的人数15和11相加，把和当成了孩子的人数：两个组里都有的孩子被数了两次。
可以这样说
“有没有人在两个圆里都被数了？”
- 陷阱
答非所问
孩子求出了图中的一部分，就拿它当答案，可题目问的是另一部分：该答“两组都不在”，却答了“两组都在”；该答整个合唱队，却答了“只在合唱队”。
可以这样说
“在图上指出题目问的是哪一部分。”
- 陷阱
列举时漏掉了一种情况
图中漏掉了一部分：从所有人里减去了一个组，却忘了另一个组；或者没有把三个组里都有的人加回来。
可以这样说
“图里的每一部分都填好了吗？”
在家怎样帮忙
地上的两个圈
在地上放两个呼啦圈，或者用绳子围两个圈，让它们相交，然后把玩具分进圈里：“红色的”和“软的”。又红又软的小熊放在中间。
哪六个？
孩子回答“六个”时，问一问：“哪六个？”两个小组都参加的六个人，和哪个小组都不参加的六个人，是不同的答案。
家庭小调查
问家里人两个问题，比如谁喜欢喝茶、谁喜欢喝可可，然后和孩子一起画出圆圈。数的时候，最容易出错的通常就是中间。
前置专题
请求一道本专题的题
来一道“容斥原理”的题