MathTrailतर्ककक्षा 5–6
कुछ बच्चे शतरंज क्लब जाते हैं, कुछ फ़ुटबॉल खेलने, कुछ दोनों जगह, और कुछ कहीं नहीं। इन सवालों में समूह आपस में मिलते हैं, और पूरी तरकीब यह है कि हर किसी को ठीक एक बार गिना जाए। वेन आरेख, यानी कागज़ पर बने दो घेरे, उलझे हुए सवाल को चार संख्याओं में बदल देता है।
दोनों समूहों को जोड़ने से, जो बच्चे दोनों में हैं, वे दो बार गिने जाते हैं, हर समूह में एक बार। उन्हें एक बार घटा दें, तो हर किसी की गिनती एक ही बार होती है।
किसी समूह में होना ज़रूरी नहीं। पूरी कक्षा में वे हैं जो कम से कम एक समूह में हैं, और वे भी जो किसी में नहीं।
अगर यह नहीं बताया गया कि दोनों समूहों में कितने हैं, तो उस संख्या की सिर्फ़ सीमाएँ बताई जा सकती हैं: समूहों का साझा हिस्सा जितना बड़ा, उतने ही कम बच्चे कम से कम एक समूह में होंगे।
30 छात्र: 14 गायन मंडली में गाते हैं, 11 चित्रकला क्लब जाते हैं, और 4 दोनों में हैं। चित्र को बीच से बाहर की ओर भरते हैं।
| हिस्सा | कितने | कैसे निकालें |
|---|---|---|
| दोनों में | 4 | दिया गया |
| सिर्फ़ गायन मंडली | 14 − 4 = 10 | गायन मंडली, दोनों वालों के बिना |
| सिर्फ़ चित्रकला | 11 − 4 = 7 | चित्रकला क्लब, दोनों वालों के बिना |
| किसी में नहीं | 30 − 10 − 7 − 4 = 9 | बाकी सब |
एक-दूसरे पर चढ़े दो घेरे बनाएँ। पहले बीच में वे लिखें जो दोनों में हैं, फिर हर घेरा बीच के बिना, और आखिर में वे जो बाहर हैं। जब बीच की संख्या न दी गई हो, तो वे मान आज़माएँ जो वह ले सकती है, और देखें कि कौन-से सही बैठते हैं। नीचे दिए उदाहरण सबसे आसान से ओलंपियाड के स्तर तक जाते हैं।
उदाहरण 1 · कक्षा 5–6
24 बच्चों के एक समूह में 15 की एक बहन है, 11 का एक भाई है, और 6 के बहन भी है और भाई भी। कितने बच्चों के न बहन है, न भाई?
एक-दूसरे पर चढ़े दो घेरे बनाते हैं, “बहन” और “भाई”। बीच में: वे 6 बच्चे, जिनके दोनों हैं।
सिर्फ़ बहन: 15 − 6 = 9। सिर्फ़ भाई: 11 − 6 = 5।
घेरों में: 9 + 6 + 5 = 20 बच्चे। उनके बाहर: 24 − 20 = 4।
जवाब 4 बच्चे।
उदाहरण 2 · कक्षा 5–6
25 बच्चों के एक समूह में 18 को सेब पसंद है और 16 को नाशपाती। कम से कम कितने बच्चों को दोनों पसंद हो सकते हैं?
बीच को जितना हो सके छोटा रखने के लिए, सेब पसंद करने वालों और नाशपाती पसंद करने वालों को जितना हो सके अलग रखते हैं।
अलग-अलग रहने के लिए उन्हें 18 + 16 = 34 जगहें चाहिए, पर बच्चे सिर्फ़ 25 हैं: इनमें से 34 − 25 = 9 को दोनों घेरों में होना ही होगा।
9 संभव है: 9 को सिर्फ़ सेब पसंद है, 7 को सिर्फ़ नाशपाती और 9 को दोनों, कुल 25, और कोई बाहर नहीं छूटा।
जवाब 9 बच्चे।
उदाहरण 3 · कक्षा 5–6
20 छात्रों में से हर एक को तीन विषयों में से कम से कम एक पसंद है: गणित, पढ़ना और चित्रकला। 12 को गणित पसंद है, 10 को पढ़ना और 9 को चित्रकला। तीनों विषय किसी को पसंद नहीं। कितने छात्रों को ठीक दो विषय पसंद हैं?
तीनों संख्याएँ जोड़ते हैं: 12 + 10 + 9 = 31। जिस छात्र को एक विषय पसंद है, वह इस जोड़ में एक बार गिना जाता है, और जिसे दो पसंद हैं, वह दो बार।
छात्र 20 हैं, इसलिए 31 − 20 = 11 गिनतियाँ ज़्यादा हैं, दो बार गिने गए हर छात्र के लिए एक।
तो 11 छात्रों को ठीक दो विषय पसंद हैं। जाँच: 9 को एक पसंद है और 11 को दो, और 9 + 2 × 11 = 31।
जवाब 11 छात्र।
MathTrail हर गलत जवाब को उस जाल से समझाता है जिसमें वह फँसा। इस विषय के सबसे आम जाल ये हैं, और हर एक के साथ बच्चे से कहने लायक एक बात।
दोनों समूह, 15 और 11, जोड़ दिए जाते हैं और योग को बच्चों की संख्या मान लिया जाता है: जो दोनों समूहों में हैं, वे दो बार गिने जाते हैं।
क्या कहें
“क्या कोई दोनों घेरों में गिना गया है?”
चित्र का कोई हिस्सा निकाला जाता है और वही जवाब में दे दिया जाता है, जबकि सवाल किसी दूसरे हिस्से के बारे में था: “किसी में नहीं” की जगह “दोनों में”, या पूरी गायन मंडली की जगह “सिर्फ़ गायन मंडली”।
क्या कहें
“चित्र में वह हिस्सा दिखाओ, जिसके बारे में सवाल पूछ रहा है।”
चित्र का कोई हिस्सा छूट जाता है: सब में से एक समूह घटा दिया जाता है और दूसरा भुला दिया जाता है, या जो तीनों समूहों में हैं, उन्हें वापस नहीं जोड़ा जाता।
क्या कहें
“क्या चित्र का हर हिस्सा भर गया है?”
फ़र्श पर दो छल्ले या रस्सी के दो घेरे ऐसे रखें कि वे एक-दूसरे पर चढ़ें, और उनमें खिलौने छाँटें: “लाल” और “मुलायम”। मुलायम लाल भालू बीच में जाएगा।
जब बच्चे का जवाब हो “छह”, तो पूछें: “छह कौन?” दोनों क्लबों में जाने वाले छह और किसी क्लब में न जाने वाले छह, ये अलग-अलग जवाब हैं।
परिवार से दो सवाल पूछें, जैसे किसे चाय पसंद है और किसे कोको, और साथ मिलकर घेरे बनाएँ। गिनती अक्सर बीच में ही गड़बड़ाती है।
“आपस में मिलते समूह” विषय पर एक सवाल दें