例1 · 1–2年级
两道条纹的旗子
一面旗子有上下两道条纹。每道条纹是红色、黄色或绿色,而且两道条纹的颜色不同。一共能有多少种不同的旗子?
按上面那道条纹的颜色给旗子排顺序。上面是红色时,下面是黄色或绿色:两面旗子。
上面是黄色时,下面是红色或绿色:又是两面。上面是绿色时,下面是红色或黄色:又是两面。
上面有3种颜色可选,每次剩下2种给下面:3 × 2 = 6面旗子。
答案 6面旗子。
计数与枚举1–6年级
用这几个数字能写出多少个数?能握多少次手,能搭配出多少套衣服,排成一队有多少种排法?这类搭配问题要按一定的顺序把每一种情况都列出来,保证一种也不漏,一种也不重复数。按规则列出的清单,是孩子面对大得没法猜的问题时的第一件工具。
写下各种情况之前,先给它们排好顺序:先按第一个字母排,再按第二个字母排。在排好顺序的清单里,漏掉的情况会留下一个看得见的空缺。
数之前,先想清楚怎样才算两种不同的情况。小琳和小涛握手,是一次握手;但小琳排在小涛前面和小涛排在小琳前面,是两种不同的排队方式。
如果一种情况由一个接一个的选择组成,比如先选杯子、再选碟子,就用乘法来数:3个杯子和2个碟子,能配成3 × 2 = 6套。
同样是A、B、C三个孩子,问的问题不同,数出来的个数也不同。
| 问题 | 和顺序有关吗? | 各种情况 |
|---|---|---|
| 排成一行,有多少种排法? | 有关:AB和BA是两种排法 | ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA,共6种 |
| 派两个人去办事,有多少种派法? | 无关:AB和BA是同一对 | AB、AC、BC,共3种 |
| 选一名组长和一名助手,有多少种选法? | 有关:组长在前(画得较大) | AB、AC、BA、BC、CA、CB,共6种 |
先定好规则:清单里什么排在最前,接下来是什么。然后按这个规则把各种情况写出来;等规则显出规律,也可以直接算出个数。下面的例题由浅入深,从最简单的一直到奥数竞赛题。
例1 · 1–2年级
一面旗子有上下两道条纹。每道条纹是红色、黄色或绿色,而且两道条纹的颜色不同。一共能有多少种不同的旗子?
按上面那道条纹的颜色给旗子排顺序。上面是红色时,下面是黄色或绿色:两面旗子。
上面是黄色时,下面是红色或绿色:又是两面。上面是绿色时,下面是红色或黄色:又是两面。
上面有3种颜色可选,每次剩下2种给下面:3 × 2 = 6面旗子。
答案 6面旗子。
例2 · 3–4年级
两个数字相差3的两位数(比如14或30)一共有多少个?
让十位上的数字从1到9依次变化,在旁边写出和它相差3的每一个个位数字:1 → 4;2 → 5;3 → 0和6;4 → 1和7;依此类推。
十位是3、4、5或6时,各有两个数,个位比十位小3或大3。十位是1、2、7、8或9时,只有一个:另一个就不是数字了。
4 × 2 + 5 × 1 = 13个:14、25、30、36、41、47、52、58、63、69、74、85、96。
答案 13个数。
例3 · 5–6年级
只用数字1和2写四位数,要求没有两个2挨在一起。这样的四位数有多少个?
数太多,没法猜,所以一位一位地往上搭。一位数:1和2,两个。两位数:11、12和21,三个,因为22不行。
符合要求的数,末位是1或者2。末位是1的,就是在任意一个少一位的合格数后面添上1。末位是2的,前一位一定是1:就是在任意一个少两位的合格数后面添上12。所以每种位数的个数,都等于前两种位数的个数之和:三位数有3 + 2 = 5个,四位数有5 + 3 = 8个。
列出来检验一下:1111、1112、1121、1211、2111、1212、2112、2121,共八个。
答案 8个数。
MathTrail 会按答错时掉进的陷阱来讲解每一个错误答案。下面是本专题最常见的几种陷阱,并附上您可以对孩子说的话。
孩子想到一种就写一种,结果漏掉了一种,常常是带0的,或者有重复数字的。
可以这样说
“你是按什么顺序写的?我们按规则重新写一遍吧。”
该用乘法时,孩子用了加法,于是3件衬衫和2条围巾算出了5种;或者在选两个人配成一对时直接相乘,忘了谁也不会和自己配对。
可以这样说
“拿一件衬衫:它能配出几套?一共有几件衬衫?”
小琳和小涛握手、小涛和小琳握手,被算成了两次握手,其实只是一次。
可以这样说
“这种情况,和我们已经写过的某一种是不是一样?”
给孩子两顶帽子和三条围巾,用来打扮一个玩具,问一共有几种打扮法。然后请孩子把清单列出来,一起检查。
孩子列举情况时,问一问:“你是按什么顺序写的?”有规则的清单,就是能检查的清单。
编一把密码锁,密码是两位数字,每一位都是1、2或3,让孩子算一算,小偷一共得试多少个密码。
来一道“枚举法”的题