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计数与枚举1–6年级

枚举法

用这几个数字能写出多少个数?能握多少次手,能搭配出多少套衣服,排成一队有多少种排法?这类搭配问题要按一定的顺序把每一种情况都列出来,保证一种也不漏,一种也不重复数。按规则列出的清单,是孩子面对大得没法猜的问题时的第一件工具。

关键一招
按规则列举各种情况
学会什么
按顺序有条理地思考,并能看出什么时候不必一一写出也能数清情况

列举的规则

和顺序有关吗?

同样是A、B、C三个孩子,问的问题不同,数出来的个数也不同。

问题和顺序有关吗?各种情况
排成一行,有多少种排法?有关:AB和BA是两种排法ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA,共6种
派两个人去办事,有多少种派法?无关:AB和BA是同一对AB、AC、BC,共3种
选一名组长和一名助手,有多少种选法?有关:组长在前(画得较大)AB、AC、BA、BC、CA、CB,共6种

解法:按规则列举

先定好规则:清单里什么排在最前,接下来是什么。然后按这个规则把各种情况写出来;等规则显出规律,也可以直接算出个数。下面的例题由浅入深,从最简单的一直到奥数竞赛题。

  1. 想清楚怎样才算两种不同的情况
  2. 按规则列举各种情况
  3. 数出个数;如果是一步接一步地选,就用乘法

例1 · 1–2年级

两道条纹的旗子

一面旗子有上下两道条纹。每道条纹是红色、黄色或绿色,而且两道条纹的颜色不同。一共能有多少种不同的旗子?

  1. 按上面那道条纹的颜色给旗子排顺序。上面是红色时,下面是黄色或绿色:两面旗子。

  2. 上面是黄色时,下面是红色或绿色:又是两面。上面是绿色时,下面是红色或黄色:又是两面。

  3. 上面有3种颜色可选,每次剩下2种给下面:3 × 2 = 6面旗子。

答案 6面旗子。

例2 · 3–4年级

数字相差三

两个数字相差3的两位数(比如14或30)一共有多少个?

  1. 让十位上的数字从1到9依次变化,在旁边写出和它相差3的每一个个位数字:1 → 4;2 → 5;3 → 0和6;4 → 1和7;依此类推。

  2. 十位是3、4、5或6时,各有两个数,个位比十位小3或大3。十位是1、2、7、8或9时,只有一个:另一个就不是数字了。

  3. 4 × 2 + 5 × 1 = 13个:14、25、30、36、41、47、52、58、63、69、74、85、96。

答案 13个数。

例3 · 5–6年级

两个2不相邻

只用数字1和2写四位数,要求没有两个2挨在一起。这样的四位数有多少个?

  1. 数太多,没法猜,所以一位一位地往上搭。一位数:1和2,两个。两位数:11、12和21,三个,因为22不行。

  2. 符合要求的数,末位是1或者2。末位是1的,就是在任意一个少一位的合格数后面添上1。末位是2的,前一位一定是1:就是在任意一个少两位的合格数后面添上12。所以每种位数的个数,都等于前两种位数的个数之和:三位数有3 + 2 = 5个,四位数有5 + 3 = 8个。

  3. 列出来检验一下:1111、1112、1121、1211、2111、1212、2112、2121,共八个。

答案 8个数。

易错点

MathTrail 会按答错时掉进的陷阱来讲解每一个错误答案。下面是本专题最常见的几种陷阱,并附上您可以对孩子说的话。

在家怎样帮忙

  1. 打扮玩具

    给孩子两顶帽子和三条围巾,用来打扮一个玩具,问一共有几种打扮法。然后请孩子把清单列出来,一起检查。

  2. 问问规则

    孩子列举情况时,问一问:“你是按什么顺序写的?”有规则的清单,就是能检查的清单。

  3. 密码锁

    编一把密码锁,密码是两位数字,每一位都是1、2或3,让孩子算一算,小偷一共得试多少个密码。

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