MathTrailLogikKlassen 5–6
Manche Kinder gehen in die Schach-AG, manche zum Fußball, manche machen beides und manche keins von beidem. In diesen Aufgaben überlappen sich die Gruppen, und der Trick besteht darin, jedes Kind genau einmal zu zählen. Ein Venn-Diagramm, zwei Kreise auf Papier, macht aus einer verwirrenden Frage vier Zahlen.
Addiert man die beiden Gruppen, werden die Kinder, die in beiden sind, doppelt gezählt, einmal in jeder. Ziehen Sie sie einmal ab, und jedes Kind ist genau einmal gezählt.
Niemand muss in einer Gruppe sein. Die ganze Klasse besteht aus denen, die in mindestens einer Gruppe sind, und denen, die in keiner sind.
Wenn nicht gesagt wird, wie viele in beiden Gruppen sind, lässt sich diese Zahl nur eingrenzen: Je mehr die Gruppen gemeinsam haben, desto weniger Kinder sind in mindestens einer davon.
30 Kinder: 14 singen im Chor, 11 gehen in die Kunst-AG und 4 machen beides. Füllen Sie das Bild von der Mitte nach außen aus.
| Der Teil | Wie viele | Wie man sie findet |
|---|---|---|
| In beiden | 4 | gegeben |
| Nur Chor | 14 − 4 = 10 | der Chor ohne die, die in beiden sind |
| Nur Kunst | 11 − 4 = 7 | die Kunst-AG ohne die, die in beiden sind |
| In keiner | 30 − 10 − 7 − 4 = 9 | alle anderen |
Zeichnen Sie zwei Kreise, die sich überlappen. Tragen Sie zuerst die Mitte ein, also die, die in beiden sind, dann jeden Kreis ohne die Mitte und zuletzt die, die außerhalb sind. Ist die Mitte nicht gegeben, probieren Sie die Werte aus, die sie annehmen könnte, und schauen Sie, welche passen. Die Beispiele unten reichen von ganz einfach bis Olympiade-Niveau.
Beispiel 1 · Klassen 5–6
In einer Gruppe von 24 Kindern haben 15 eine Schwester, 11 einen Bruder und 6 sowohl eine Schwester als auch einen Bruder. Wie viele Kinder haben weder eine Schwester noch einen Bruder?
Zwei Kreise zeichnen, die sich überlappen: „Schwester“ und „Bruder“. In die Mitte kommen die 6 Kinder, die beides haben.
Nur Schwester: 15 − 6 = 9. Nur Bruder: 11 − 6 = 5.
In den Kreisen: 9 + 6 + 5 = 20 Kinder. Außerhalb: 24 − 20 = 4.
Antwort 4 Kinder.
Beispiel 2 · Klassen 5–6
In einer Gruppe von 25 Kindern mögen 18 Äpfel und 16 Birnen. Wie klein kann die Zahl der Kinder sein, die beides mögen?
Damit die Mitte so klein wie möglich wird, die Kinder, die Äpfel mögen, und die, die Birnen mögen, so weit wie möglich auseinanderhalten.
Getrennt bräuchten sie 18 + 16 = 34 Plätze, es gibt aber nur 25 Kinder: 34 − 25 = 9 von ihnen müssen in beiden Kreisen sein.
9 ist möglich: 9 mögen nur Äpfel, 7 nur Birnen und 9 beides, zusammen 25, und niemand bleibt außen vor.
Antwort 9 Kinder.
Beispiel 3 · Klassen 5–6
Jedes von 20 Kindern mag mindestens eines von drei Fächern: Mathe, Lesen und Kunst. 12 mögen Mathe, 10 Lesen und 9 Kunst. Niemand mag alle drei. Wie viele Kinder mögen genau zwei Fächer?
Die drei Zahlen addieren: 12 + 10 + 9 = 31. Ein Kind, das ein Fach mag, wird in dieser Summe einmal gezählt, und eines, das zwei mag, zweimal.
Es sind 20 Kinder, also sind 31 − 20 = 11 Zählungen zu viel, eine für jedes Kind, das zweimal gezählt wurde.
Also mögen 11 Kinder genau zwei Fächer. Probe: 9 mögen eines und 11 mögen zwei, und 9 + 2 × 11 = 31.
Antwort 11 Kinder.
MathTrail erklärt jede falsche Antwort mit der Falle, die dahintersteckt. Hier sind die häufigsten in diesem Thema, jeweils mit einem Satz, den Sie Ihrem Kind sagen können.
Das Kind addiert die beiden Gruppen, 15 und 11, und hält die Summe für die Zahl der Kinder: Die, die in beiden Gruppen sind, werden doppelt gezählt.
Was Sie sagen können
„Wird jemand in beiden Kreisen gezählt?“
Das Kind findet einen Teil des Bildes und nennt ihn als Antwort, obwohl nach einem anderen gefragt war: „in beiden“ statt „in keiner“ oder „nur Chor“ statt des ganzen Chors.
Was Sie sagen können
„Zeig auf den Teil des Bildes, nach dem gefragt ist.“
Ein Teil des Bildes fehlt: Eine Gruppe wird von allen abgezogen und die andere vergessen, oder die, die in allen drei Gruppen sind, werden nicht wieder dazugezählt.
Was Sie sagen können
„Ist jeder Teil des Bildes ausgefüllt?“
Legen Sie zwei Reifen oder zwei Schlaufen aus Schnur so auf den Boden, dass sie sich überlappen, und sortieren Sie Spielsachen hinein: „rot“ und „weich“. Ein weicher roter Bär kommt in die Mitte.
Wenn Ihr Kind „sechs“ antwortet, fragen Sie: „Sechs wer?“ Sechs in beiden AGs und sechs in keiner sind verschiedene Antworten.
Stellen Sie der Familie zwei Fragen, etwa wer Tee mag und wer Kakao, und zeichnen Sie die Kreise gemeinsam. In der Mitte geht beim Zählen meistens etwas schief.
Gib mir eine Aufgabe zum Thema „Überlappende Gruppen“