例題1 · 5–6年生
姉妹と兄弟
子ども24人のうち、姉か妹がいる子は15人、兄か弟がいる子は11人、その両方がいる子は6人です。どちらもいない子は何人ですか。
「姉・妹」と「兄・弟」のベン図をかきます。真ん中に入るのは、両方がいる6人です。
姉か妹だけ：15 − 6 = 9。兄か弟だけ：11 − 6 = 5。
円の中：9 + 6 + 5 = 20人。円の外：24 − 20 = 4人。
答え 4人です。
論理5–6年生
集合算
チェスクラブに通う子もいれば、サッカーに通う子も、両方に通う子も、どちらにも通わない子もいます。こうした問題ではグループが重なっていて、コツは全員をちょうど1回ずつ数えることです。紙に2つの円のベン図をかけば、こんがらがった問題が4つの数に変わります。
- 解き方のカギ
- 円をかいて、真ん中から始める
- 身につく力
- 同じものを2回数えずに数え、それぞれの数が何を表すかを言う力
2つの円のルール
たすと2回数えてしまう
2つのグループの人数をたすと、両方に入っている子は、それぞれのグループで1回ずつ、合わせて2回数えられます。その子たちを1回分ひけば、全員がちょうど1回ずつ数えられたことになります。
どちらにも入らない子もいる
どの子もグループに入らなければならないわけではありません。クラス全員は、少なくとも1つのグループに入っている子と、どのグループにも入っていない子を合わせた人数です。
真ん中がわからないとき
両方のグループに入っている人数が書かれていなければ、その数は範囲をしぼることしかできません。グループの重なりが大きいほど、どちらかのグループに入っている子どもは少なくなります。
図の4つの部分
児童30人のうち、14人が合唱クラブ、11人が美術クラブに入っていて、4人は両方に入っています。図を真ん中から外へとうめていきます。
| 部分 | 人数 | 求め方 |
|---|---|---|
| 両方 | 4 | 問題文にある |
| 合唱だけ | 14 − 4 = 10 | 合唱クラブから両方の子をのぞく |
| 美術だけ | 11 − 4 = 7 | 美術クラブから両方の子をのぞく |
| どちらでもない | 30 − 10 − 7 − 4 = 9 | 残りの全員 |
解き方：真ん中から外へ
重なり合う2つの円（ベン図）をかきます。まず真ん中に両方に入っている人数を書き、次にそれぞれの円の真ん中以外の部分、最後に外側の人数を書きます。真ん中がわからないときは、とりうる値を試して、どれが合うかを確かめます。下の例題は、いちばんやさしい問題から算数オリンピックの問題へと進みます。
- 円をかく
- 真ん中をうめてから、残りをうめる
- 部分を合わせると全員になるか確かめる
例題2 · 5–6年生
リンゴとナシ
子ども25人のうち、リンゴが好きな子は18人、ナシが好きな子は16人です。リンゴもナシも好きな子は、少なくとも何人いますか。
真ん中をできるだけ小さくするには、リンゴが好きな子とナシが好きな子を、できるだけ別々にします。
別々にすると18 + 16 = 34人分の場所がいりますが、子どもは25人しかいません。だから34 − 25 = 9人は、どうしても両方の円に入ります。
9人はありえます。リンゴだけが好きな子が9人、ナシだけが7人、両方が9人で、合わせて25人、はみ出す子はいません。
答え 9人です。
例題3 · 5–6年生
3つの教科
20人の児童がいて、どの児童も、算数、国語、図工の3つの教科のうち少なくとも1つが好きです。算数が好きな児童は12人、国語は10人、図工は9人です。3つとも好きな児童はいません。ちょうど2つの教科が好きな児童は何人ですか。
3つの人数をたします。12 + 10 + 9 = 31。1つの教科が好きな児童はこの合計に1回、2つが好きな児童は2回数えられています。
児童は20人なので、31 − 20 = 11回分が余分です。2回数えられた児童1人につき、1回分ずつです。
だから、ちょうど2つの教科が好きな児童は11人です。確かめ：1つが好きな児童が9人、2つが好きな児童が11人で、9 + 2 × 11 = 31。
答え 11人です。
つまずきやすいところ
MathTrail は、間違った答えを一つひとつ、どのひっかけにかかったのかから解説します。このテーマでよくあるひっかけを、お子さまへの声かけの例と一緒に紹介します。
- ひっかけ
同じものを2回数える
子どもは、両方のグループの15と11をたして、その合計を子どもの人数だと思ってしまいます。これでは、両方のグループに入っている子を2回数えています。
声かけ
「両方の円で数えた人はいない？」
- ひっかけ
聞かれていないことに答える
子どもは図のある部分を求めて、それを答えにしますが、問題が聞いていたのは別の部分です。「どちらでもない」のかわりに「両方」を、合唱クラブ全員のかわりに「合唱だけ」を答えてしまいます。
声かけ
「問題が聞いているのは、図のどこ？指でさしてみよう」
- ひっかけ
書き出しで場合が1つもれる
図の一部が抜け落ちます。全員から片方のグループだけをひいてもう片方を忘れたり、3つのグループ全部に入っている子をたし戻さなかったりします。
声かけ
「図の部分は、全部うまった？」
家庭でできること
床に輪を2つ
フラフープを2つ、またはひもで作った輪を2つ、重なるように床に置いて、おもちゃを「赤い」と「やわらかい」に分けます。赤くてやわらかいクマのぬいぐるみは、真ん中に入ります。
どんな6人？
お子さまが「6人」と答えたら、「どんな6人？」と聞いてみましょう。両方のクラブに入っている6人と、どちらにも入っていない6人は、ちがう答えです。
家族アンケート
家族に、お茶が好きなのはだれか、ココアが好きなのはだれか、のように2つ質問して、一緒に円をかきましょう。数え間違いが起きやすいのは、たいてい真ん中です。
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