MathTrailالمنطقالصفوف 5–6
بعض الأطفال يذهبون إلى نادي الشطرنج، وبعضهم إلى كرة القدم، وبعضهم إلى كليهما، وبعضهم لا يذهب إلى أي منهما. في هذه المسائل تتداخل المجموعات، والحيلة كلها في عدّ كل واحد مرة واحدة بالضبط. ومخطط فن، أي دائرتان مرسومتان على الورق، يحوّل سؤالًا محيّرًا إلى أربعة أعداد.
عند جمع المجموعتين يُعدّ الأطفال الموجودون في كلتيهما مرتين، مرة في كل مجموعة. اطرحوهم مرة واحدة، فيُعدّ كل واحد مرة واحدة.
ليس على أحد أن يكون في مجموعة. والفصل كله هو من في مجموعة واحدة على الأقل، ومن ليس في أي مجموعة.
إذا لم يُذكر عدد من هم في المجموعتين معًا، فلا يمكن إلا حصر هذا العدد بين حدّين: كلما زاد المشترك بين المجموعتين، قلّ عدد الأطفال الموجودين في واحدة منهما على الأقل.
30 تلميذًا: 14 يغنّون في الجوقة، و11 في نادي الفنون، و4 في كليهما. املؤوا الرسم من الوسط إلى الخارج.
| الجزء | العدد | طريقة إيجاده |
|---|---|---|
| في كليهما | 4 | معطى |
| الجوقة فقط | 14 − 4 = 10 | الجوقة دون من في كليهما |
| الفنون فقط | 11 − 4 = 7 | نادي الفنون دون من في كليهما |
| ليس في أي منهما | 30 − 10 − 7 − 4 = 9 | كل الباقين |
ارسموا دائرتين متداخلتين. اكتبوا الوسط أولًا، أي من في كليهما، ثم كل دائرة دون الوسط، وفي النهاية من هم خارجهما. وحين لا يُعطى الوسط، جرّبوا القيم التي يمكن أن يأخذها وانظروا أيها يناسب. تتدرّج الأمثلة أدناه من الأبسط إلى مستوى الأولمبياد.
مثال 1 · الصفوف 5–6
في مجموعة من 24 طفلًا، لدى 15 منهم أخت، ولدى 11 أخ، ولدى 6 أخت وأخ معًا. كم طفلًا ليس لديه أخت ولا أخ؟
نرسم دائرتين متداخلتين، «أخت» و«أخ». في الوسط: 6 أطفال لديهم أخت وأخ.
أخت فقط: 15 − 6 = 9. أخ فقط: 11 − 6 = 5.
داخل الدائرتين: 9 + 6 + 5 = 20 طفلًا. خارجهما: 24 − 20 = 4.
الإجابة 4 أطفال.
مثال 2 · الصفوف 5–6
في مجموعة من 25 طفلًا، يحب 18 منهم التفاح، ويحب 16 الكمثرى. ما أصغر عدد ممكن من الأطفال الذين يحبون الاثنين معًا؟
ليكون الوسط أصغر ما يمكن، نفصل محبي التفاح عن محبي الكمثرى قدر الإمكان.
لو انفصلوا تمامًا لاحتاجوا إلى 18 + 16 = 34 مكانًا، وليس هناك إلا 25 طفلًا: إذن لا بد أن يكون 34 − 25 = 9 منهم في الدائرتين كلتيهما.
العدد 9 ممكن فعلًا: 9 يحبون التفاح فقط، و7 الكمثرى فقط، و9 الاثنين، والمجموع 25، ولا أحد خارج الدائرتين.
الإجابة 9 أطفال.
مثال 3 · الصفوف 5–6
كل واحد من 20 تلميذًا يحب مادة واحدة على الأقل من ثلاث مواد: الرياضيات والقراءة والفنون. يحب الرياضيات 12 تلميذًا، والقراءة 10، والفنون 9. ولا أحد يحب المواد الثلاث كلها. كم تلميذًا يحب مادتين بالضبط؟
نجمع الأعداد الثلاثة: 12 + 10 + 9 = 31. التلميذ الذي يحب مادة واحدة يُعدّ في هذا المجموع مرة واحدة، والذي يحب مادتين يُعدّ مرتين.
عدد التلاميذ 20، إذن في المجموع زيادة قدرها 31 − 20 = 11، واحد عن كل تلميذ عُدّ مرتين.
إذن 11 تلميذًا يحبون مادتين بالضبط. التحقق: 9 يحبون مادة واحدة و11 يحبون مادتين، و9 + 2 × 11 = 31.
الإجابة 11 تلميذًا.
يشرح MathTrail كل إجابة خاطئة بالفخ الذي وقعت فيه. وهذه أكثر الفخاخ شيوعًا في هذا الموضوع، ومع كل منها ما يمكن قوله لطفلكم.
جمع المجموعتين، 15 و11، واعتبار المجموع عدد الأطفال: فمن في المجموعتين كلتيهما يُعدّون مرتين.
ما يمكن قوله
«هل عُدّ أحد في الدائرتين كلتيهما؟»
إيجاد جزء من الرسم وتقديمه على أنه الإجابة، مع أن السؤال عن جزء آخر: «في كليهما» بدل «ليس في أي منهما»، أو «الجوقة فقط» بدل الجوقة كلها.
ما يمكن قوله
«لنُشِر في الرسم إلى الجزء الذي يسأل عنه السؤال».
يسقط جزء من الرسم: تُطرح مجموعة من الكل وتُنسى الأخرى، أو لا يُضاف من جديد من هم في المجموعات الثلاث كلها.
ما يمكن قوله
«هل مُلئت كل أجزاء الرسم؟»
ضعوا على الأرض طوقين، أو حلقتين من الخيط، بحيث تتداخلان، وصنّفوا الألعاب فيهما: «حمراء» و«ناعمة». فالدب الأحمر الناعم مكانه في الوسط.
عندما تكون إجابة طفلكم «ستة»، اسألوا: «أي ستة؟». فستة في الناديين كليهما، وستة ليسوا في أي منهما، إجابتان مختلفتان.
اطرحوا على أفراد العائلة سؤالين، مثل: من يحب الشاي ومن يحب الكاكاو، وارسموا الدائرتين معًا. فالوسط هو حيث يقع الخطأ في العدّ عادةً.
أعطني مسألة في موضوع «المجموعات المتداخلة»