MathTrailLogiqueNiveaux 5–6
Certains enfants vont au club d’échecs, d’autres au football, certains aux deux, et d’autres à aucun des deux. Dans ces problèmes, les groupes se chevauchent, et toute l’astuce est de compter chacun exactement une fois. Un diagramme de Venn, deux cercles dessinés sur papier, transforme une question embrouillée en quatre nombres.
Quand on additionne les deux groupes, les enfants qui sont dans les deux sont comptés deux fois, une fois dans chacun. Retirez-les une fois, et tout le monde est compté une seule fois.
Être dans un groupe n’est pas obligatoire. Toute la classe, ce sont ceux qui sont dans au moins un groupe et ceux qui ne sont dans aucun.
Si personne ne dit combien d’enfants sont dans les deux groupes, ce nombre ne peut qu’être encadré : plus les groupes ont en commun, moins il y a d’enfants dans au moins l’un d’eux.
30 élèves : 14 chantent dans la chorale, 11 vont au club de dessin et 4 font les deux. Remplissez le dessin du milieu vers l’extérieur.
| La partie | Combien | Comment on le trouve |
|---|---|---|
| Dans les deux | 4 | donné |
| Chorale seulement | 14 − 4 = 10 | la chorale sans ceux qui sont dans les deux |
| Dessin seulement | 11 − 4 = 7 | le club de dessin sans ceux qui sont dans les deux |
| Dans aucun | 30 − 10 − 7 − 4 = 9 | tous les autres |
Dessinez deux cercles qui se chevauchent. Écrivez d’abord le milieu, ceux qui sont dans les deux, puis chaque cercle sans le milieu, et enfin ceux qui sont à l’extérieur. Quand le milieu n’est pas donné, essayez les valeurs qu’il pourrait prendre et voyez lesquelles conviennent. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.
Exemple 1 · Niveaux 5–6
Dans un groupe de 24 enfants, 15 ont une sœur, 11 ont un frère et 6 ont à la fois une sœur et un frère. Combien d’enfants n’ont ni sœur ni frère ?
On dessine deux cercles qui se chevauchent, « sœur » et « frère ». Au milieu : les 6 enfants qui ont les deux.
Une sœur seulement : 15 − 6 = 9. Un frère seulement : 11 − 6 = 5.
Dans les cercles : 9 + 6 + 5 = 20 enfants. En dehors : 24 − 20 = 4.
Réponse 4 enfants.
Exemple 2 · Niveaux 5–6
Dans un groupe de 25 enfants, 18 aiment les pommes et 16 aiment les poires. Quel est le plus petit nombre d’enfants qui pourraient aimer les deux ?
Pour que le milieu soit le plus petit possible, on sépare le plus possible ceux qui aiment les pommes de ceux qui aiment les poires.
Séparés, ils auraient besoin de 18 + 16 = 34 places, et il n’y a que 25 enfants : 34 − 25 = 9 d’entre eux sont forcément dans les deux cercles.
9, c’est possible : 9 aiment seulement les pommes, 7 seulement les poires et 9 les deux, soit 25 en tout, sans oublier personne.
Réponse 9 enfants.
Exemple 3 · Niveaux 5–6
Chacun des 20 élèves aime au moins une de ces trois matières : les maths, la lecture et le dessin. 12 aiment les maths, 10 la lecture et 9 le dessin. Personne n’aime les trois. Combien d’élèves aiment exactement deux matières ?
On additionne les trois nombres : 12 + 10 + 9 = 31. Un élève qui aime une matière compte une fois dans cette somme, et un élève qui en aime deux compte deux fois.
Il y a 20 élèves, donc la somme compte 31 − 20 = 11 de trop, un pour chaque élève compté deux fois.
Donc 11 élèves aiment exactement deux matières. Vérification : 9 en aiment une et 11 en aiment deux, et 9 + 2 × 11 = 31.
Réponse 11 élèves.
MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.
L’enfant additionne les deux groupes, 15 et 11, et prend la somme pour le nombre d’enfants : ceux qui sont dans les deux groupes sont comptés deux fois.
Que lui dire
« Est-ce que quelqu’un est compté dans les deux cercles ? »
L’enfant trouve une partie du dessin et la donne comme réponse, alors que la question portait sur une autre : « dans les deux » au lieu de « dans aucun », ou « chorale seulement » au lieu de toute la chorale.
Que lui dire
« Montre la partie du dessin dont parle la question. »
Une partie du dessin est oubliée : on retire un groupe de tout le monde et on oublie l’autre, ou on ne rajoute pas ceux qui sont dans les trois groupes.
Que lui dire
« Est-ce que chaque partie du dessin est remplie ? »
Posez par terre deux cerceaux, ou deux boucles de ficelle, de façon qu’ils se chevauchent, et triez des jouets dedans : « rouges » et « doux ». Un ours rouge et doux va au milieu.
Quand l’enfant répond « six », demandez : « Six qui ? » Six dans les deux clubs et six dans aucun, ce sont deux réponses différentes.
Posez deux questions à la famille, par exemple qui aime le thé et qui aime le chocolat chaud, et dessinez les cercles ensemble. C’est en général au milieu que l’on se trompe en comptant.
Donne-moi un problème sur le thème « Groupes qui se chevauchent »