例1 · 3–4年级
一升水
一位厨师有一个3升的空壶、一个5升的空壶和一个水龙头。壶上没有刻度。每一步，她可以用水龙头把一个壶装满，可以把一个壶里的水倒光，也可以从一个壶往另一个壶里倒水，直到前一个壶倒空或者后一个壶装满。最少要几步，才能让某个壶里正好有1升水？
把3升的壶装满，倒进5升的壶，这时大壶里有3升水。
再把3升的壶装满，从它往大壶里倒，直到大壶装满：大壶只能再装下2升。
小壶里剩下1升水，一共用了4步：装满、倒入、装满、倒入。
答案 4步。
策略与游戏3–6年级
称重与倒水
只有一个5升的壶和一个3升的壶，怎样量出正好4升水？只有天平、没有砝码，怎样从许多枚硬币中找出唯一一枚较轻的？在倒水问题和找次品这类题里，孩子要事先规划一小串步骤，而且每条规则都要紧：壶上没有刻度，天平没有砝码。这是孩子第一次接触算法，也就是无论发生什么都行得通的计划。
- 关键一招
- 记下每一个状态，寻找最短的路
- 学会什么
- 提前规划步骤，并能想清楚称一次的每一种结果
称重与倒水的规则
状态包括每一个壶
每走一步，都写下每个壶里有多少水：5和0，然后是2和3。有了状态清单，就能看出还能走到哪里，哪里已经走过。
三种结果
天平可能左边沉、右边沉，或者两边平衡，所以每称一次都有三种结果。要把硬币分成三组，而不是两组。
每条规则都要紧
壶上没有刻度，不能把水倒掉，砝码只能放在一个托盘里：每条规则都会改变哪些步骤是允许的，也就会改变答案。
称一次的三种结果
每称一次有三种结果，所以一次就能把硬币分成三组。这决定了称一定的次数，最多能应付多少枚硬币。
| 称的次数 | 结果数 | 能应付的硬币数 |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 最多3枚 |
| 2 | 3 × 3 = 9 | 最多9枚 |
| 3 | 3 × 3 × 3 = 27 | 最多27枚 |
解法：状态表
倒水的题，就列一张表：每个壶占一列，每一步占一行；从每一行出发，试遍所有允许的步骤，直到目标出现。目标第一次出现时，用的步数就是最少的。称重的题，要事先想好三种结果出现后各该怎么做。下面的例题由浅入深，从最简单的一直到奥数竞赛题。
- 记下状态：每个壶或托盘里有什么
- 从这个状态出发，试遍所有允许的步骤
- 到达目标就停下，并数出步数
例2 · 3–4年级
八枚硬币
有8枚看起来一模一样的硬币，其中一枚是假币，比其他的轻，其他的硬币都一样重。用一架没有砝码的天平，最少要称几次，才能保证找出假币？
天平两边各放3枚硬币，另外2枚放在旁边。
如果有一边翘起来，假币就在那一边的3枚里：再1枚对1枚地称，轻的那枚就是假币；如果两边平衡，假币就是第三枚。
如果两边平衡，假币就在旁边的2枚里：让这两枚互相称一下。无论哪种情况，称2次都够了，而1次不够：它只有3种结果，硬币却有8枚。
答案 称2次。
例3 · 5–6年级
一百枚硬币
有100枚看起来一模一样的硬币，其中一枚是假币，比其他的轻，其他的硬币都一样重。用一架没有砝码的天平，最少要称几次，才能保证找出假币？
每称一次有3种结果，所以称4次最多只能区分3 × 3 × 3 × 3 = 81种情况。这比100枚硬币少，所以称4次不够。
天平两边各放33枚，另外34枚放在旁边：无论结果如何，最多剩下34枚。同样，34枚最多缩小到12枚，然后是4枚、2枚、1枚。
这样一共称5次，硬币从100枚依次变成34、12、4、2和1枚。
答案 称5次。
易错点
MathTrail 会按答错时掉进的陷阱来讲解每一个错误答案。下面是本专题最常见的几种陷阱，并附上您可以对孩子说的话。
- 陷阱
漏看了一个条件
不知不觉违反了题目的一条规则：题目不允许把水倒掉，却倒掉了；把壶装到它上面并没有的刻度；或者把砝码放进了放物体的托盘。
可以这样说
“题目允许做哪些步骤？”
- 陷阱
解题只做到一半
计划在能确定之前就停下了：称一次找到了有假币的那一组，就不再往下找了；或者目标是1升，倒到2升就停了。
可以这样说
“不管天平显示的是哪种结果，你现在能确定了吗？”
- 陷阱
数间隔时差了一个
步数数差了一步：漏数了第一次从水龙头装水，或者把最后一次倒水数了两次。
可以这样说
“对着表再数一遍：一行就是一步。”
在家怎样帮忙
在水槽边倒水
拿两个大小不同的杯子，试着量出一个两个杯子都不能直接装出的水量。水槽就是最好的实验室，水洒了也没关系。
找出轻的那个
把一个较轻的东西藏在几个看起来一样的东西里，用家里的天平，或者一个挂着两个袋子的衣架，把它找出来。数一数称了几次。
先做计划
倒水或称重之前，先把计划写成一张表，再一步一步地检查。真正的本领是先做计划，而不是靠运气。
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