Estrategias y juegos3–6 de primaria

Balanzas y jarras

Con una jarra de 5 litros y otra de 3 litros, ¿cómo se miden exactamente 4 litros? Con una balanza y sin pesas, ¿cómo se encuentra la única moneda más ligera entre muchas? En estos problemas, quien resuelve planea una secuencia corta de pasos, y cada regla cuenta: las jarras no tienen marcas y la balanza no tiene pesas. Es un primer contacto con los algoritmos: planes que funcionan pase lo que pase.

La idea clave: Anotar cada estado y buscar el camino más corto
Qué enseña: A planear los pasos de antemano y a pensar en cada resultado de una pesada

Las reglas de balanzas y jarras

Un estado son todas las jarras
Anote lo que tiene cada jarra después de cada paso: 5 y 0, luego 2 y 3. Una lista de estados muestra adónde se puede llegar y por dónde ya se ha pasado.
Tres resultados
Una balanza puede inclinarse a la izquierda, a la derecha o quedar en equilibrio, así que cada pesada tiene tres resultados. Divida las monedas en tres grupos, no en dos.
Cada regla cuenta
Sin marcas en las jarras, sin tirar agua, pesas en un solo platillo: cada regla cambia qué pasos se permiten y, por tanto, la respuesta.

Tres resultados de una pesada

Cada pesada tiene tres resultados, así que puede dividir las monedas en tres grupos. De eso depende cuántas monedas puede abarcar un número dado de pesadas.

Pesadas	Resultados	Monedas que abarcan
1	3	hasta 3
2	3 × 3 = 9	hasta 9
3	3 × 3 × 3 = 27	hasta 27

Cómo resolverlo: una tabla de estados

Para los trasvases, haga una tabla con una columna por jarra y una fila por paso, y pruebe desde cada fila todos los pasos permitidos hasta que aparezca el objetivo; la primera vez que aparece da el menor número de pasos. Para las pesadas, planee qué hacer después de cada uno de los tres resultados. Los ejemplos de abajo van del más sencillo a uno de olimpiada.

Anotar el estado, lo que hay en cada jarra o platillo
Probar desde él todos los pasos permitidos
Parar al llegar al objetivo y contar los pasos

Ejemplo 1 · 3–4 de primaria

Un litro

Una cocinera tiene una jarra vacía de 3 litros, otra vacía de 5 litros y un grifo. Las jarras no tienen marcas. En un paso, llena una jarra con el grifo, vacía una jarra o trasvasa de una jarra a la otra hasta que la primera se vacía o la segunda se llena. ¿Cuántos pasos como mínimo hacen falta para tener exactamente 1 litro en una jarra?

Llenamos la jarra de 3 litros y trasvasamos el agua a la de 5 litros, que ahora tiene 3 litros.
Volvemos a llenar la jarra de 3 litros y trasvasamos de ella hasta que la grande se llena: solo caben 2 litros más.
En la jarra pequeña queda 1 litro, tras 4 pasos: llenar, trasvasar, llenar, trasvasar.

Respuesta 4 pasos.

Ejemplo 2 · 3–4 de primaria

Ocho monedas

Hay 8 monedas que parecen iguales. Una de ellas es falsa y pesa menos que las demás, que pesan todas lo mismo. ¿Cuántas pesadas como mínimo hacen falta en una balanza sin pesas para encontrar con seguridad la falsa?

Ponemos 3 monedas en cada platillo y apartamos 2.
Si un platillo sube, la falsa está entre sus 3 monedas: pesamos 1 contra 1, y la más ligera es la falsa, o lo es la tercera moneda si quedan en equilibrio.
Si los platillos quedan en equilibrio, la falsa es una de las 2 apartadas: las pesamos una contra otra. En cualquier caso bastan 2 pesadas, y 1 no basta: solo tiene 3 resultados para 8 monedas.

Respuesta 2 pesadas.

Ejemplo 3 · 5–6 de primaria

Cien monedas

Entre 100 monedas que parecen iguales, una es falsa y pesa menos que las demás, que pesan todas lo mismo. ¿Cuántas pesadas como mínimo hacen falta en una balanza sin pesas para encontrar con seguridad la falsa?

Cada pesada tiene 3 resultados, así que 4 pesadas distinguen como mucho 3 × 3 × 3 × 3 = 81 casos. Son menos que las 100 monedas, así que 4 pesadas no bastan.
Ponemos 33 monedas en cada platillo y apartamos 34: pase lo que pase, quedan como mucho 34 monedas. Del mismo modo, 34 se reducen como mucho a 12, luego a 4, luego a 2 y luego a 1.
Son 5 pesadas, en las que las monedas pasan de 100 a 34, 12, 4, 2 y 1.

Respuesta 5 pesadas.

Dónde suelen equivocarse

MathTrail explica cada respuesta incorrecta por la trampa en la que cayó. Estas son las más frecuentes en este tema, con algo que puede decirle a su hijo o hija.

Trampa
Condición olvidada
Se rompe una regla del problema sin darse cuenta: se tira agua aunque el problema no lo permite, se llena una jarra hasta una marca que no tiene o se pone una pesa en el platillo de lo que se pesa.
Qué decirle
«¿Qué pasos permite el problema?»
Trampa
Solución dejada a medias
El plan se detiene antes de tener la certeza: una pesada encuentra el grupo con la falsa y la búsqueda termina ahí, o los trasvases se detienen en 2 litros cuando el objetivo era 1.
Qué decirle
«Sea cual sea el resultado de la balanza, ¿ya lo sabes con seguridad?»
Trampa
Uno de más o de menos al contar intervalos
Los pasos se cuentan con uno de más o de menos: se olvida el primer llenado con el grifo o se cuenta dos veces el último trasvase.
Qué decirle
«Vuelve a contar en la tabla: una fila, un paso».

Cómo ayudar en casa

Jarras en el fregadero
Tome dos tazas de distinto tamaño e intente medir una cantidad distinta de la que cabe en cada una. El fregadero es el mejor laboratorio, y el agua derramada no hace daño.
Encuentre el más ligero
Esconda un objeto más ligero entre varios que parezcan iguales y encuéntrelo con una balanza de casa, o con una percha y dos bolsas. Cuente las pesadas.
Primero, el plan
Antes de trasvasar o de pesar, escriba el plan en forma de tabla y compruébelo paso a paso. La habilidad está en planear primero, no en la suerte.

Balanzas y jarras

Las reglas de balanzas y jarras

Un estado son todas las jarras

Tres resultados

Cada regla cuenta

Tres resultados de una pesada

Cómo resolverlo: una tabla de estados

Un litro

Ocho monedas

Cien monedas

Dónde suelen equivocarse

Condición olvidada

Solución dejada a medias

Uno de más o de menos al contar intervalos

Cómo ayudar en casa

Jarras en el fregadero

Encuentre el más ligero

Primero, el plan

Aprender primero

Pida un problema de este tema