Stratégies et jeuxNiveaux 3–6

Pesées et transvasements

Avec un bidon de 5 litres et un bidon de 3 litres, comment mesurer exactement 4 litres ? Avec une balance et sans poids, comment trouver la seule pièce plus légère parmi beaucoup d’autres ? Dans ces problèmes, l’enfant prévoit une courte suite d’étapes, et chaque règle compte : pas de graduations sur les bidons, pas de poids pour la balance. C’est une première rencontre avec les algorithmes, c’est-à-dire des plans qui marchent quoi qu’il arrive.

L’idée clé: Noter chaque état et chercher le chemin le plus court
Ce qu’on y apprend: À prévoir les étapes à l’avance et à envisager chaque résultat d’une pesée

Les règles des pesées et des transvasements

Un état, ce sont tous les bidons
Notez ce que contient chaque bidon après chaque étape : 5 et 0, puis 2 et 3. Une liste d’états montre où l’on peut arriver et par où l’on est déjà passé.
Trois résultats
Une balance peut pencher à gauche, pencher à droite ou rester en équilibre : chaque pesée a donc trois résultats. Répartissez les pièces en trois groupes, et non en deux.
Chaque règle compte
Pas de graduations sur les bidons, pas d’eau jetée, des poids sur un seul plateau : chaque règle change les étapes permises, et donc la réponse.

Les trois résultats d’une pesée

Chaque pesée a trois résultats possibles, et peut donc séparer les pièces en trois groupes. C’est ce qui détermine combien de pièces un nombre donné de pesées permet de départager.

Pesées	Résultats	Combien de pièces
1	3	jusqu’à 3
2	3 × 3 = 9	jusqu’à 9
3	3 × 3 × 3 = 27	jusqu’à 27

Comment le résoudre : un tableau des états

Pour les transvasements, faites un tableau avec une colonne par bidon et une ligne par étape, et, depuis chaque ligne, essayez toutes les étapes permises jusqu’à ce que l’objectif apparaisse ; sa première apparition donne le plus petit nombre d’étapes. Pour les pesées, prévoyez ce qu’il faut faire après chacun des trois résultats. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.

Noter l’état, ce que contient chaque bidon ou chaque plateau
Essayer depuis cet état toutes les étapes permises
S’arrêter à l’objectif et compter les étapes

Exemple 1 · Niveaux 3–4

Un litre

Une cuisinière a un bidon vide de 3 litres, un bidon vide de 5 litres et un robinet. Les bidons n’ont pas de graduations. En une étape, elle remplit un bidon au robinet, vide un bidon, ou verse d’un bidon dans l’autre jusqu’à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein. Combien d’étapes faut-il au minimum pour avoir exactement 1 litre dans un bidon ?

On remplit le bidon de 3 litres et on le verse dans le bidon de 5 litres, qui contient alors 3 litres.
On remplit de nouveau le bidon de 3 litres et on verse jusqu’à ce que le grand bidon soit plein : il n’y entre plus que 2 litres.
Il reste 1 litre dans le petit bidon, au bout de 4 étapes : remplir, verser, remplir, verser.

Réponse 4 étapes.

Exemple 2 · Niveaux 3–4

Huit pièces

Il y a 8 pièces d’apparence identique. L’une d’elles est fausse et plus légère que les autres, qui pèsent toutes la même chose. Combien de pesées faut-il au minimum, sur une balance sans poids, pour trouver à coup sûr la fausse pièce ?

On pose 3 pièces sur chaque plateau et on en garde 2 de côté.
Si un plateau monte, la fausse pièce se trouve parmi ses 3 pièces : on pèse 1 contre 1, et la plus légère est la fausse, ou c’est la troisième si les plateaux restent en équilibre.
Si les plateaux sont en équilibre, la fausse pièce est l’une des 2 mises de côté : on les pèse l’une contre l’autre. Dans tous les cas, 2 pesées suffisent, et 1 ne suffit pas : elle n’a que 3 résultats pour 8 pièces.

Réponse 2 pesées.

Exemple 3 · Niveaux 5–6

Cent pièces

Parmi 100 pièces d’apparence identique, l’une est fausse et plus légère que les autres, qui pèsent toutes la même chose. Combien de pesées faut-il au minimum, sur une balance sans poids, pour trouver à coup sûr la fausse pièce ?

Chaque pesée a 3 résultats, donc 4 pesées distinguent au plus 3 × 3 × 3 × 3 = 81 cas. C’est moins que les 100 pièces : 4 pesées ne suffisent donc pas.
On pose 33 pièces sur chaque plateau et on en garde 34 de côté : quoi qu’il arrive, il reste au plus 34 pièces. De la même façon, 34 pièces se réduisent à 12 au plus, puis à 4, puis à 2, puis à 1.
Cela fait 5 pesées, pendant lesquelles le nombre de pièces passe de 100 à 34, 12, 4, 2 et 1.

Réponse 5 pesées.

Où les enfants se trompent

MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.

Piège
Oubli d’une des conditions
Une règle du problème est enfreinte sans qu’on s’en rende compte : on jette de l’eau alors que le problème ne le permet pas, on remplit un bidon jusqu’à une graduation qu’il n’a pas, ou on pose un poids sur le plateau de ce qu’on pèse.
Que lui dire
« Qu’est-ce que le problème permet de faire ? »
Piège
Solution arrêtée à mi-chemin
Le plan s’arrête avant d’apporter une certitude : une pesée trouve le groupe qui contient la fausse pièce, et la recherche en reste là, ou les transvasements s’arrêtent à 2 litres alors qu’il fallait 1 litre.
Que lui dire
« Quel que soit le résultat de la balance, le sais-tu maintenant à coup sûr ? »
Piège
Un de plus ou de moins en comptant les intervalles
Les étapes sont comptées avec une de plus ou de moins : le premier remplissage au robinet est oublié, ou le dernier transvasement est compté deux fois.
Que lui dire
« Recompte sur le tableau : une ligne, une étape. »

Comment aider à la maison

Des bidons dans l’évier
Prenez deux tasses de tailles différentes et essayez de mesurer une quantité qui ne correspond à aucune des deux. L’évier est le meilleur des laboratoires, et l’eau renversée ne fait aucun mal.
Trouvez le plus léger
Cachez un objet plus léger parmi quelques objets qui se ressemblent, et retrouvez-le avec une balance de la maison, ou avec un cintre et deux sacs. Comptez les pesées.
D’abord le plan
Avant de transvaser ou de peser, écrivez le plan sous forme de tableau et vérifiez-le étape par étape. La compétence, c’est de prévoir d’abord, pas d’avoir de la chance.

Pesées et transvasements

Les règles des pesées et des transvasements

Un état, ce sont tous les bidons

Trois résultats

Chaque règle compte

Les trois résultats d’une pesée

Comment le résoudre : un tableau des états

Un litre

Huit pièces

Cent pièces

Où les enfants se trompent

Oubli d’une des conditions

Solution arrêtée à mi-chemin

Un de plus ou de moins en comptant les intervalles

Comment aider à la maison

Des bidons dans l’évier

Trouvez le plus léger

D’abord le plan

À apprendre d’abord

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