MathTrail

रणनीतियाँ और खेलकक्षा 3–6

तौलना और उड़ेलना

5 लीटर और 3 लीटर के दो जगों से ठीक 4 लीटर कैसे नापा जाए? बिना बाटों वाले तराज़ू से बहुत-से सिक्कों में से अकेला हल्का सिक्का कैसे ढूँढा जाए? इन सवालों में बच्चे को कदमों का एक छोटा-सा सिलसिला पहले से तय करना होता है, और हर नियम मायने रखता है: जगों पर कोई निशान नहीं, तराज़ू के लिए कोई बाट नहीं। यह एल्गोरिदम से पहली मुलाकात है, यानी ऐसी योजनाओं से जो हर हाल में काम करती हैं।

मुख्य विचार
हर स्थिति लिखना और सबसे छोटा रास्ता ढूँढना
क्या सिखाता है
कदमों की योजना पहले से बनाना, और तौलने के हर नतीजे को सोचकर देखना

तौलने और उड़ेलने के नियम

तौलने के तीन नतीजे

हर बार तौलने के तीन नतीजे होते हैं, इसलिए एक बार तौलकर सिक्कों को तीन समूहों में बाँटा जा सकता है। इसी से तय होता है कि कितनी बार तौलकर कितने सिक्के जाँचे जा सकते हैं।

कितनी बार तौलानतीजेकितने सिक्के जाँचे जा सकते हैं
133 तक
23 × 3 = 99 तक
33 × 3 × 3 = 2727 तक

हल कैसे करें: स्थितियों की सारणी

उड़ेलने के सवालों में एक सारणी बनाएँ, जिसमें हर जग का एक स्तंभ और हर कदम की एक पंक्ति हो, और हर पंक्ति से हर वह कदम आज़माएँ जिसकी अनुमति है, जब तक लक्ष्य न दिख जाए; वह जिस कदम पर पहली बार दिखे, वही कदमों की सबसे कम संख्या है। तौलने के सवालों में पहले से सोचें कि तीनों में से हर नतीजे के बाद क्या करना है। नीचे दिए उदाहरण सबसे आसान से ओलंपियाड के स्तर तक जाते हैं।

  1. स्थिति लिखना, यानी किस जग में या किस पलड़े पर क्या है
  2. उससे हर वह कदम आज़माना जिसकी अनुमति है
  3. लक्ष्य पर रुकना और कदम गिनना

उदाहरण 1 · कक्षा 3–4

एक लीटर

एक रसोइन के पास 3 लीटर का एक खाली जग, 5 लीटर का एक खाली जग और एक नल है। जगों पर कोई निशान नहीं हैं। एक कदम में वह नल से कोई जग भरती है, किसी जग को खाली करती है, या एक जग से दूसरे में तब तक उड़ेलती है जब तक पहला खाली न हो जाए या दूसरा भर न जाए। किसी जग में ठीक 1 लीटर पाने के लिए कम से कम कितने कदम लगेंगे?

  1. 3 लीटर वाला जग भरते हैं और उसे 5 लीटर वाले जग में उड़ेलते हैं, जिसमें अब 3 लीटर है।

  2. 3 लीटर वाला जग फिर से भरते हैं और उससे तब तक उड़ेलते हैं जब तक बड़ा जग भर न जाए: उसमें बस 2 लीटर और आता है।

  3. छोटे जग में 1 लीटर बचता है, 4 कदमों के बाद: भरना, उड़ेलना, भरना, उड़ेलना।

जवाब 4 कदम।

उदाहरण 2 · कक्षा 3–4

आठ सिक्के

एक जैसे दिखने वाले 8 सिक्के हैं। उनमें से एक नकली है और बाकियों से हल्का है; बाकी सबका वज़न बराबर है। नकली सिक्का पक्के तौर पर ढूँढने के लिए बिना बाटों वाले तराज़ू पर कम से कम कितनी बार तौलना पड़ेगा?

  1. हर पलड़े पर 3 सिक्के रखते हैं और 2 अलग रख देते हैं।

  2. अगर कोई पलड़ा ऊपर उठे, तो नकली सिक्का उसी के 3 सिक्कों में है: 1 को 1 के सामने तौलते हैं; जो हल्का हो, वही नकली है, और अगर दोनों बराबर रहें, तो तीसरा सिक्का।

  3. अगर पलड़े बराबर रहें, तो नकली सिक्का अलग रखे 2 सिक्कों में से एक है: उन्हें आपस में तौलते हैं। दोनों ही स्थितियों में 2 बार तौलना काफ़ी है, और 1 बार काफ़ी नहीं: उसके सिर्फ़ 3 नतीजे होते हैं, और सिक्के 8 हैं।

जवाब 2 बार तौलना।

उदाहरण 3 · कक्षा 5–6

सौ सिक्के

एक जैसे दिखने वाले 100 सिक्कों में से एक नकली है और बाकियों से हल्का है; बाकी सबका वज़न बराबर है। नकली सिक्का पक्के तौर पर ढूँढने के लिए बिना बाटों वाले तराज़ू पर कम से कम कितनी बार तौलना पड़ेगा?

  1. हर बार तौलने के 3 नतीजे होते हैं, इसलिए 4 बार तौलकर ज़्यादा से ज़्यादा 3 × 3 × 3 × 3 = 81 स्थितियों में फ़र्क किया जा सकता है। यह 100 सिक्कों से कम है, इसलिए 4 बार तौलना काफ़ी नहीं।

  2. हर पलड़े पर 33 सिक्के रखते हैं और 34 अलग रखते हैं: कुछ भी हो, ज़्यादा से ज़्यादा 34 सिक्के बचते हैं। इसी तरह 34 घटकर ज़्यादा से ज़्यादा 12 रह जाते हैं, फिर 4, फिर 2, फिर 1।

  3. इस तरह कुल 5 बार तौलना होता है, और सिक्के 100 से घटकर 34, 12, 4, 2 और 1 रह जाते हैं।

जवाब 5 बार तौलना।

बच्चे कहाँ गलती करते हैं

MathTrail हर गलत जवाब को उस जाल से समझाता है जिसमें वह फँसा। इस विषय के सबसे आम जाल ये हैं, और हर एक के साथ बच्चे से कहने लायक एक बात।

घर पर कैसे मदद करें

  1. सिंक में जग

    अलग-अलग नाप के दो कप लें और कोई ऐसी मात्रा नापने की कोशिश करें, जो दोनों में से किसी भी कप में ठीक-ठीक नहीं आती। सिंक सबसे अच्छी प्रयोगशाला है, और गिरा हुआ पानी कोई नुकसान नहीं करता।

  2. हल्की चीज़ ढूँढें

    एक जैसी दिखने वाली कुछ चीज़ों में एक हल्की चीज़ छिपाएँ और उसे घर के तराज़ू से, या दो थैलियों वाले कपड़ों के हैंगर से ढूँढें। गिनें कि कितनी बार तौलना पड़ा।

  3. पहले योजना

    उड़ेलने या तौलने से पहले योजना को सारणी के रूप में लिखें और उसे कदम-दर-कदम जाँचें। कौशल पहले से योजना बनाने में है, किस्मत में नहीं।

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