Estratégias e jogosAnos 3–6

Balanças e jarras

Com uma jarra de 5 litros e outra de 3 litros, como medir exatamente 4 litros? Com uma balança de pratos e sem pesos, como achar a única moeda mais leve entre muitas? Nestes problemas, como o desafio dos baldes, a criança planeja uma sequência curta de passos, e cada regra conta: jarras sem marcas, balança sem pesos. É um primeiro contato com algoritmos, planos que funcionam aconteça o que acontecer.

A ideia-chave: Anotar cada estado e procurar o caminho mais curto
O que ensina: A planejar os passos com antecedência e a pensar em cada resultado de uma pesagem

As regras das balanças e jarras

Um estado mostra todas as jarras
Anote quanto há em cada jarra depois de cada passo: 5 e 0, depois 2 e 3. Uma lista de estados mostra aonde dá para chegar e por onde você já passou.
Três resultados
Uma balança pode pender para a esquerda, para a direita ou ficar em equilíbrio, então cada pesagem tem três resultados. Divida as moedas em três grupos, não em dois.
Cada regra conta
Jarras sem marcas, nada de jogar água fora, pesos em um prato só: cada regra muda quais passos são permitidos e, com isso, a resposta.

Três resultados de uma pesagem

Cada pesagem tem três resultados, então ela pode dividir as moedas em três grupos. É isso que decide de quantas moedas um certo número de pesagens dá conta.

Pesagens	Resultados	Moedas de que dão conta
1	3	até 3
2	3 × 3 = 9	até 9
3	3 × 3 × 3 = 27	até 27

Como resolver: uma tabela de estados

Com as jarras, monte uma tabela com uma coluna para cada uma e uma linha para cada passo e, a partir de cada linha, tente todos os passos permitidos até o objetivo aparecer; a primeira vez que ele aparece dá o menor número de passos. Com a balança, planeje o que fazer depois de cada um dos três resultados. Os exemplos abaixo vão do mais simples a um de olimpíada.

Anotar o estado, o que há em cada jarra ou prato
Tentar a partir dele todos os passos permitidos
Parar no objetivo e contar os passos

Exemplo 1 · Anos 3–4

Um litro

Uma cozinheira tem uma jarra vazia de 3 litros, uma jarra vazia de 5 litros e uma torneira. As jarras não têm marcas. Em um passo, ela enche uma jarra na torneira, esvazia uma jarra ou despeja água de uma jarra na outra até a primeira ficar vazia ou a segunda ficar cheia. Qual é o menor número de passos para ter exatamente 1 litro em uma jarra?

Encha a jarra de 3 litros e despeje tudo na jarra de 5 litros, que agora tem 3 litros.
Encha de novo a jarra de 3 litros e despeje água dela na jarra grande até esta ficar cheia: só cabem mais 2 litros.
Sobra 1 litro na jarra pequena, depois de 4 passos: encher, despejar, encher, despejar.

Resposta 4 passos.

Exemplo 2 · Anos 3–4

Oito moedas

Há 8 moedas que parecem iguais. Uma delas é falsa e mais leve que as outras, que pesam todas o mesmo. Qual é o menor número de pesagens em uma balança sem pesos para achar a falsa com certeza?

Coloque 3 moedas em cada prato e deixe 2 de lado.
Se um prato sobe, a falsa está entre as 3 moedas desse prato: pese 1 contra 1, e a mais leve é a falsa, ou é a terceira moeda, se as duas ficarem em equilíbrio.
Se os pratos ficam em equilíbrio, a falsa é uma das 2 deixadas de lado: pese uma contra a outra. De qualquer jeito, 2 pesagens bastam, e 1 não basta: ela tem só 3 resultados para 8 moedas.

Resposta 2 pesagens.

Exemplo 3 · Anos 5–6

Cem moedas

Entre 100 moedas que parecem iguais, uma é falsa e mais leve que as outras, que pesam todas o mesmo. Qual é o menor número de pesagens em uma balança sem pesos para achar a falsa com certeza?

Cada pesagem tem 3 resultados, então 4 pesagens distinguem no máximo 3 × 3 × 3 × 3 = 81 casos. Isso é menos que 100 moedas, então 4 pesagens não bastam.
Coloque 33 moedas em cada prato e deixe 34 de lado: aconteça o que acontecer, sobram no máximo 34 moedas. Do mesmo jeito, 34 caem para no máximo 12, depois 4, depois 2, depois 1.
São 5 pesagens, e as moedas passam de 100 para 34, 12, 4, 2 e 1.

Resposta 5 pesagens.

Onde as crianças erram

O MathTrail explica cada resposta errada pela armadilha em que ela caiu. Estas são as mais comuns neste tema, com algo que você pode dizer à criança.

Armadilha
Condição esquecida
Uma regra do problema é quebrada sem que se perceba: jogam água fora sem o problema permitir, enchem uma jarra até uma marca que ela não tem ou põem um peso no prato do que está sendo pesado.
O que dizer
“Que passos o problema permite?”
Armadilha
Solução interrompida no meio do caminho
O plano termina antes de haver certeza: uma pesagem acha o grupo com a falsa e a busca acaba ali, ou se deixa de despejar em 2 litros quando o objetivo era 1.
O que dizer
“Não importa o que a balança mostrou, agora você sabe com certeza?”
Armadilha
Um a mais ou a menos ao contar intervalos
Os passos são contados com um a mais ou a menos: o primeiro enchimento na torneira fica de fora, ou a última vez que se despeja água é contada duas vezes.
O que dizer
“Conte de novo na tabela: uma linha, um passo.”

Como ajudar em casa

Jarras na pia
Pegue dois copos de tamanhos diferentes e tente medir uma quantidade diferente da que cabe em cada um. A pia é o melhor laboratório, e água derramada não faz mal.
Ache o mais leve
Esconda um objeto mais leve entre alguns que parecem iguais e encontre-o com uma balança de casa ou com um cabide e duas sacolas. Conte as pesagens.
Primeiro, o plano
Antes de despejar ou de pesar, escreva o plano em forma de tabela e confira passo a passo. A habilidade está em planejar primeiro, não na sorte.

Balanças e jarras

As regras das balanças e jarras

Um estado mostra todas as jarras

Três resultados

Cada regra conta

Três resultados de uma pesagem

Como resolver: uma tabela de estados

Um litro

Oito moedas

Cem moedas

Onde as crianças erram

Condição esquecida

Solução interrompida no meio do caminho

Um a mais ou a menos ao contar intervalos

Como ajudar em casa

Jarras na pia

Ache o mais leve

Primeiro, o plano

Aprender antes

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