MathTrail作戦とゲーム3–6年生
5リットルの入れ物と3リットルの入れ物で、ちょうど4リットルの水をはかるにはどうすればよいでしょうか。おもりのないてんびんで、たくさんのコインにまじった1枚の軽いコインを見つけるには、どうすればよいでしょうか。こうした油分け算やてんびんの問題では、子どもが短い手順を計画します。そして、入れ物に目盛りがない、てんびんにおもりがないといったルールの一つひとつが意味を持ちます。これは、何が起きてもうまくいく計画、つまりアルゴリズムとの最初の出会いです。
操作のたびに、5と0、次に2と3のように、それぞれの入れ物に入っている量を書いていきます。状態を書き並べておけば、どの状態にたどり着けるか、どの状態をもう通ったかがわかります。
てんびんは、左に傾くか、右に傾くか、つり合うかのどれかなので、はかるたびに結果は3通りあります。コインは2つではなく、3つのグループに分けます。
入れ物に目盛りがない、水を捨ててはいけない、おもりは片方の皿にしかのせられない、といったルールは、どれも許される操作を変え、そのため答えも変えます。
はかるたびに結果は3通りあるので、コインを3つのグループに分けて調べられます。それによって、決まった回数で何枚のコインまで調べられるかが決まります。
| はかる回数 | 結果の数 | 調べられるコイン |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3枚まで |
| 2 | 3 × 3 = 9 | 9枚まで |
| 3 | 3 × 3 × 3 = 27 | 27枚まで |
水の移しかえでは、入れ物ごとに列を、操作ごとに行をとった表をつくり、目標が現れるまで、それぞれの行から許される操作をすべて試します。目標が最初に現れたところが、いちばん少ない回数です。てんびんでは、3通りの結果のそれぞれについて、次に何をするかを計画します。下の例題は、いちばんやさしい問題から算数オリンピックの問題へと進みます。
例題1 · 3–4年生
コックさんのところには、空の3リットルの入れ物と、空の5リットルの入れ物と、じゃ口があります。入れ物に目もりはありません。コックさんは1回の操作で、じゃ口から水を入れて入れ物をいっぱいにするか、入れ物の水を全部すてるか、一方の入れ物からもう一方へ水を移すかの、どれかをします。水を移すときは、はじめの入れ物が空になるか、もう一方がいっぱいになるまで移します。どちらかの入れ物にちょうど1リットルの水を入れるには、少なくとも何回の操作が必要ですか。
3リットルの入れ物をいっぱいにして、5リットルの入れ物に移します。これで大きい入れ物には3リットル入っています。
もう一度3リットルの入れ物をいっぱいにして、大きい入れ物がいっぱいになるまで移します。大きい入れ物に入るのは、あと2リットルだけです。
小さい入れ物に1リットルが残ります。ここまでの操作は、満たす、移す、満たす、移すの4回です。
答え 4回です。
例題2 · 3–4年生
見た目が同じコインが8枚あります。そのうち1枚はにせのコインで、ほかのコインより軽く、ほかのコインの重さはどれも同じです。おもりを使わないてんびんで、にせのコインを確実に見つけるには、少なくとも何回はかる必要がありますか。
両方の皿に3枚ずつのせ、2枚はわきに置いておきます。
片方の皿が上がったら、にせのコインはその皿の3枚の中にあります。そのうちの1枚と1枚を比べると、軽いほうがにせのコインです。つり合えば、3枚目がにせのコインです。
皿がつり合ったら、わきに置いた2枚を比べます。にせのコインは、そのどちらかだからです。どちらの場合も2回はかれば十分で、1回では足りません。結果が3通りしかないのに、コインは8枚あるからです。
答え 2回です。
例題3 · 5–6年生
見た目が同じ100枚のコインのうち、1枚がにせのコインで、ほかのコインより軽く、ほかのコインの重さはどれも同じです。おもりを使わないてんびんで、にせのコインを確実に見つけるには、少なくとも何回はかる必要がありますか。
はかるたびに結果は3通りなので、4回はかっても、区別できるのは多くて3 × 3 × 3 × 3 = 81通りです。これはコインの100枚より少ないので、4回では足りません。
両方の皿に33枚ずつのせ、34枚はわきに置きます。どの結果になっても、残るのは多くて34枚です。同じようにして、34枚は多くて12枚になり、さらに4枚、2枚、1枚と減っていきます。
コインが100枚から34枚、12枚、4枚、2枚、1枚と減っていくので、はかる回数は5回です。
答え 5回です。
MathTrail は、間違った答えを一つひとつ、どのひっかけにかかったのかから解説します。このテーマでよくあるひっかけを、お子さまへの声かけの例と一緒に紹介します。
気づかないうちに、問題のルールを破ってしまいます。問題で許されていないのに水を捨てたり、入れ物にない目盛りまで水を入れたり、はかる物をのせた皿におもりをのせたりします。
声かけ
「この問題で、していい操作はどれ？」
確実になる前に、計画が止まってしまいます。1回はかってにせのコインのあるグループを見つけたところで探すのをやめたり、目標は1リットルなのに2リットルで移しかえをやめたりします。
声かけ
「てんびんの結果がどれでも、もうはっきりわかる？」
操作の回数が1つずれます。最初に蛇口から水を入れた回を抜かしたり、最後に移した回を2回数えたりします。
声かけ
「表でもう一度数えよう。1行で1回だよ」
大きさの違うコップを2つ用意して、どちらのコップの容量とも違う量をはかってみてください。流しは最高の実験室で、水がこぼれても大丈夫です。
見た目が同じ物をいくつか用意して、その中に1つだけ軽い物をかくし、家にあるてんびんか、袋を2つつるしたハンガーで、それを見つけてみてください。はかった回数も数えましょう。
水を移したりはかったりする前に、計画を表に書き、一つひとつ確かめてみてください。大切なのは運ではなく、先に計画を立てる力です。
てんびんと水の移しかえの問題を出してください