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Strategien und SpieleKlassen 3–6

Wiegen und Umfüllen

Wie misst man mit einer 5-Liter-Kanne und einer 3-Liter-Kanne genau 4 Liter ab? Wie findet man mit einer Balkenwaage ohne Gewichte die eine leichtere Münze unter vielen? In diesen Aufgaben plant ein Kind eine kurze Folge von Schritten, und jede Regel zählt: keine Markierungen an den Kannen, keine Gewichte für die Waage. Das ist eine erste Begegnung mit Algorithmen, also mit Plänen, die funktionieren, was auch immer passiert.

Der Kniff
Jeden Zustand aufschreiben und den kürzesten Weg suchen
Was man dabei lernt
Schritte vorausplanen und jeden Ausgang einer Wägung durchdenken

Die Regeln des Wiegens und Umfüllens

Drei Ausgänge einer Wägung

Jede Wägung hat drei Ausgänge, also kann sie die Münzen in drei Gruppen teilen. Davon hängt ab, wie viele Münzen eine bestimmte Zahl von Wägungen bewältigt.

WägungenAusgängeMünzen, die sie schaffen
13bis zu 3
23 × 3 = 9bis zu 9
33 × 3 × 3 = 27bis zu 27

Lösungsweg: eine Tabelle der Zustände

Legen Sie fürs Umfüllen eine Tabelle an, mit einer Spalte für jede Kanne und einer Zeile für jeden Schritt, und probieren Sie von jeder Zeile aus jeden erlaubten Schritt, bis das Ziel auftaucht; sein erstes Auftauchen ergibt die kleinste Zahl von Schritten. Planen Sie beim Wiegen, was nach jedem der drei Ausgänge zu tun ist. Die Beispiele unten reichen von ganz einfach bis Olympiade-Niveau.

  1. Den Zustand aufschreiben: was in jeder Kanne oder auf jeder Waagschale ist
  2. Von dort jeden erlaubten Schritt ausprobieren
  3. Am Ziel anhalten und die Schritte zählen

Beispiel 1 · Klassen 3–4

Ein Liter

Eine Köchin hat eine leere 3-Liter-Kanne, eine leere 5-Liter-Kanne und einen Wasserhahn. Die Kannen haben keine Markierungen. In einem Schritt füllt sie eine Kanne am Wasserhahn, gießt eine Kanne aus oder gießt aus einer Kanne in die andere, bis die erste leer oder die zweite voll ist. Wie viele Schritte braucht sie mindestens, damit genau 1 Liter in einer Kanne ist?

  1. Die 3-Liter-Kanne füllen und in die 5-Liter-Kanne gießen, in der jetzt 3 Liter sind.

  2. Die 3-Liter-Kanne wieder füllen und daraus gießen, bis die große Kanne voll ist: Es passen nur noch 2 Liter hinein.

  3. In der kleinen Kanne bleibt 1 Liter übrig, nach 4 Schritten: füllen, umfüllen, füllen, umfüllen.

Antwort 4 Schritte.

Beispiel 2 · Klassen 3–4

Acht Münzen

Es gibt 8 Münzen, die gleich aussehen. Eine davon ist falsch und leichter als die anderen, die alle gleich viel wiegen. Wie viele Wägungen auf einer Balkenwaage ohne Gewichte braucht man mindestens, um die falsche Münze sicher zu finden?

  1. Auf jede Waagschale 3 Münzen legen und 2 beiseitelegen.

  2. Steigt eine Waagschale, liegt die falsche Münze unter ihren 3 Münzen: 1 gegen 1 wiegen; die leichtere ist die falsche, und bei Gleichgewicht ist es die dritte Münze.

  3. Bleibt die Waage im Gleichgewicht, ist die falsche Münze eine der 2 beiseitegelegten: Diese beiden gegeneinander wiegen. So oder so reichen 2 Wägungen, und 1 reicht nicht: Eine einzige Wägung hat nur 3 Ausgänge für 8 Münzen.

Antwort 2 Wägungen.

Beispiel 3 · Klassen 5–6

Hundert Münzen

Unter 100 Münzen, die gleich aussehen, ist eine falsch und leichter als die anderen, die alle gleich viel wiegen. Wie viele Wägungen auf einer Balkenwaage ohne Gewichte braucht man mindestens, um die falsche Münze sicher zu finden?

  1. Jede Wägung hat 3 Ausgänge, also unterscheiden 4 Wägungen höchstens 3 × 3 × 3 × 3 = 81 Fälle. Das sind weniger als 100 Münzen, also reichen 4 Wägungen nicht.

  2. Auf jede Waagschale 33 Münzen legen und 34 beiseitelegen: Was auch passiert, es bleiben höchstens 34 Münzen übrig. Genauso werden aus 34 höchstens 12, dann 4, dann 2, dann 1.

  3. Das macht 5 Wägungen, während die Zahl der Münzen von 100 auf 34, 12, 4, 2 und 1 sinkt.

Antwort 5 Wägungen.

Wo Kinder Fehler machen

MathTrail erklärt jede falsche Antwort mit der Falle, die dahintersteckt. Hier sind die häufigsten in diesem Thema, jeweils mit einem Satz, den Sie Ihrem Kind sagen können.

So helfen Sie zu Hause

  1. Kannen in der Spüle

    Nehmen Sie zwei Becher verschiedener Größe und versuchen Sie, eine Menge abzumessen, die keinem der beiden Becher entspricht. Die Spüle ist das beste Labor, und verschüttetes Wasser schadet nicht.

  2. Den leichteren Gegenstand finden

    Verstecken Sie einen leichteren Gegenstand unter einigen, die gleich aussehen, und finden Sie ihn mit einer Balkenwaage für zu Hause oder mit einem Kleiderbügel und zwei Beuteln. Zählen Sie die Wägungen.

  3. Erst planen

    Schreiben Sie vor dem Umfüllen oder Wiegen den Plan als Tabelle auf und prüfen Sie ihn Schritt für Schritt. Auf das Vorausplanen kommt es an, nicht auf Glück.

Vorher lernen

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