MathTrailالعدّ والحصرالصفوف 1–6
كم عددًا يمكن كتابته بهذه الأرقام؟ وكم مصافحة، وكم طقمًا من الملابس، وكم طريقة للوقوف في صف؟ في مسائل العدّ هذه تُكتب الحالات كلها بترتيب يضمن ألا تضيع أي حالة ولا تُحسب حالة مرتين. والقائمة المكتوبة وفق قاعدة هي أول أداة في يد الطفل أمام أسئلة أكبر من أن تُخمَّن إجابتها.
رتّبوا الحالات قبل كتابتها: حسب الحرف الأول، ثم حسب الحرف الثاني. وفي القائمة المرتبة تترك الحالة الناقصة فراغًا واضحًا للعين.
قبل العدّ، حدّدوا ما الذي يجعل حالتين مختلفتين. مصافحة لينا وتامر مصافحة واحدة، أما وقوف لينا قبل تامر ووقوف تامر قبل لينا فطابوران مختلفان.
عندما تتكوّن الحالة من خيارات يأتي أحدها بعد الآخر، فنجان ثم صحن، فالعدّ يكون بالضرب: من 3 فناجين و2 صحنين نحصل على 3 × 2 = 6 أطقم.
مع الأطفال الثلاثة أنفسهم، أ و ب و ج، تعطي الأسئلة المختلفة أعدادًا مختلفة.
| السؤال | هل الترتيب مهم؟ | الحالات |
|---|---|---|
| بكم طريقة يمكنهم الوقوف في صف؟ | نعم: «أ ب» و«ب أ» صفّان مختلفان | أ ب ج، أ ج ب، ب أ ج، ب ج أ، ج أ ب، ج ب أ: 6 |
| كم ثنائيًا يمكن إرساله في مهمة؟ | لا: «أ ب» و«ب أ» ثنائي واحد | أ ب، أ ج، ب ج: 3 |
| بكم طريقة يمكن اختيار قائد ومساعد؟ | نعم: القائد أولًا (أكبر حجمًا) | أ ب، أ ج، ب أ، ب ج، ج أ، ج ب: 6 |
ضعوا قاعدة أولًا: ما الذي يأتي أولًا في القائمة وما الذي يليه، ثم اكتبوا الحالات وفقها، أو عدّوها حين تكشف القاعدة عن نمط. تتدرّج الأمثلة أدناه من الأبسط إلى مستوى الأولمبياد.
مثال 1 · الصفوف 1–2
للعلم شريطان، أحدهما فوق الآخر. كل شريط أحمر أو أصفر أو أخضر، ولونا الشريطين مختلفان. كم علمًا مختلفًا هناك؟
نرتّب الأعلام حسب الشريط العلوي. إذا كان الأحمر في الأعلى، فالشريط السفلي أصفر أو أخضر: علمان.
وإذا كان الأصفر في الأعلى، فالسفلي أحمر أو أخضر: علمان آخران. وإذا كان الأخضر في الأعلى، فالسفلي أحمر أو أصفر: علمان آخران.
3 ألوان للشريط العلوي، وفي كل مرة يبقى 2 للسفلي: 3 × 2 = 6 أعلام.
الإجابة 6 أعلام.
مثال 2 · الصفوف 3–4
كم عددًا من رقمين يختلف رقماه بمقدار 3، مثل 14 أو 30؟
نمرّ على رقم العشرات من 1 إلى 9، ونكتب بجانبه كل رقم آحاد يبعد عنه 3: 1 ← 4؛ 2 ← 5؛ 3 ← 0 و6؛ 4 ← 1 و7؛ وهكذا.
إذا كان رقم العشرات 3 أو 4 أو 5 أو 6، فلكل منها عددان: رقم آحاد أصغر بمقدار 3 وآخر أكبر بمقدار 3. وإذا كان 1 أو 2 أو 7 أو 8 أو 9، فعدد واحد فقط: لأن الآخر لن يكون رقمًا.
4 × 2 + 5 × 1 = 13 عددًا: 14، 25، 30، 36، 41، 47، 52، 58، 63، 69، 74، 85، 96.
الإجابة 13 عددًا.
مثال 3 · الصفوف 5–6
كم عددًا من أربعة أرقام يمكن كتابته بالرقمين 1 و2 وحدهما، بحيث لا يتجاور رقمان 2؟
عددها أكبر من أن يُخمَّن، لذلك نبنيها رقمًا بعد رقم. برقم واحد: 1 و2، عددان. برقمين: 11 و12 و21، ثلاثة أعداد، لأن 22 غير مسموح.
العدد المسموح ينتهي بالرقم 1 أو بالرقم 2. فإذا انتهى بالرقم 1، فهو أي عدد مسموح أقصر منه برقم واحد، مع إضافة 1 في آخره. وإذا انتهى بالرقم 2، فالرقم الذي قبله يجب أن يكون 1: فهو أي عدد مسموح أقصر منه برقمين، مع إضافة 12 في آخره. إذن كل نتيجة هي مجموع النتيجتين اللتين قبلها: للأعداد من ثلاثة أرقام 3 + 2 = 5، وللأعداد من أربعة أرقام 5 + 3 = 8.
نتحقق بكتابتها: 1111، 1112، 1121، 1211، 2111، 1212، 2112، 2121، ثمانية أعداد.
الإجابة 8 أعداد.
يشرح MathTrail كل إجابة خاطئة بالفخ الذي وقعت فيه. وهذه أكثر الفخاخ شيوعًا في هذا الموضوع، ومع كل منها ما يمكن قوله لطفلكم.
كتابة الحالات كما تخطر في البال، فتضيع إحداها، وغالبًا ما تكون حالة فيها 0 أو حالة فيها رقم مكرر.
ما يمكن قوله
«بأي ترتيب كُتبت؟ لنكتبها من جديد وفق قاعدة».
الجمع حيث يجب ضرب الخيارات، فمن 3 قمصان و2 وشاحين يخرج الناتج 5، أو الضرب حيث يُختار ثنائي، مع أن أحدًا لا يشكّل ثنائيًا مع نفسه.
ما يمكن قوله
«لنأخذ قميصًا واحدًا: كم طقمًا يكوّن؟ وكم قميصًا هناك؟»
مصافحة لينا لتامر ومصافحة تامر للينا تُحسبان مصافحتين، مع أنهما مصافحة واحدة.
ما يمكن قوله
«هل هذه الحالة موجودة عندنا من قبل؟»
أعطوا طفلكم قبعتين وثلاثة أوشحة لدمية، واسألوا عن عدد الطرق لإلباسها. ثم اطلبوا قائمة بها، وتحققوا منها معًا.
في أثناء كتابة طفلكم للحالات، اسألوا: «بأي ترتيب تُكتب الحالات؟». فالقائمة ذات القاعدة قائمة يمكن التحقق منها.
تخيّلوا قفلًا رمزه رقمان من بين 1 و2 و3، وعلى طفلكم إيجاد عدد الرموز التي سيضطر اللص إلى تجربتها.
أعطني مسألة في موضوع «حصر الحالات»