MathTrailतरकीब वाली संख्याएँकक्षा 5–6
29 छात्र सैर पर जाते हैं, और हर कार में उनमें से 4 बैठते हैं। कितनी कारें चाहिए? इन सवालों में शेषफल के साथ भाग देना होता है, और फिर तय करना होता है कि शेषफल का मतलब क्या है: एक और कार, बची हुई एक टॉफ़ी, या अगली पंक्ति में एक जगह। विभाज्यता के नियम “क्या यह विभाज्य है?” का जवाब बिलकुल भाग दिए बिना दे देते हैं।
7 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2 और इसी तरह 6 तक होता है। अगर वह 7 या उससे ज़्यादा निकले, तो एक और समूह बन जाता है।
4 सीटों वाली कारों में 29 छात्र यानी 7 पूरी भरी कारें और 1 छात्र बाकी, इसलिए 8 कारें चाहिए। एक ही भाग से जवाब 7 भी हो सकता है, 8 भी या 1 भी: यह सवाल तय करता है।
कोई संख्या 2 से विभाज्य है अगर उसका आखिरी अंक सम हो, 5 से अगर वह 0 या 5 पर खत्म हो, और 3 या 9 से अगर उसके अंकों का योग उनसे विभाज्य हो।
हर पूर्ण संख्या को पूरे समूहों और बचे हुए हिस्से के रूप में लिखा जा सकता है। सवाल तय करता है कि उसे इन दोनों में से क्या चाहिए।
| सवाल | भाग · नीले में, जो पूछा गया है | जवाब |
|---|---|---|
| 29 छात्रों को 4 सीटों वाली कितनी कारें चाहिए? | 29 = 7 × 4 + 1 | 8 कारें |
| 29 टॉफ़ियाँ 4 बच्चों में बाँटी जाती हैं: हर एक को कितनी मिलती हैं? | 29 = 7 × 4 + 1 | हर एक को 7 टॉफ़ियाँ |
| 29 में से कितनी टॉफ़ियाँ बचती हैं? | 29 = 7 × 4 + 1 | 1 टॉफ़ी |
संख्या को पूरे समूहों और बचे हुए हिस्से के रूप में लिखें। फिर सवाल दोबारा पढ़ें और तय करें कि वह क्या चाहता है: समूह, शेषफल, या एक समूह ज़्यादा। जब सवाल सबसे छोटी संख्या या किसी खास गुण वाला अंक पूछे, तो उन्हें क्रम से आज़माएँ। नीचे दिए उदाहरण सबसे आसान से ओलंपियाड के स्तर तक जाते हैं।
उदाहरण 1 · कक्षा 5–6
150 छात्र स्कूल की सैर पर जाते हैं, और हर बस में 40 सीटें हैं। कितनी बसें चाहिए?
छात्रों को 40 के समूहों में गिनते हैं: 150 = 3 × 40 + 30। तीन बसें भर जाती हैं, और 30 छात्र बचते हैं।
इन 30 छात्रों को भी एक बस चाहिए, भले ही वह पूरी न भरे।
3 + 1 = 4 बसें।
जवाब 4 बसें।
उदाहरण 2 · कक्षा 5–6
38*6 में तारे की जगह कौन-सा अंक होना चाहिए, ताकि संख्या 9 से बिना शेष के विभाज्य हो?
कोई संख्या 9 से ठीक तभी विभाज्य होती है, जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।
ज्ञात अंकों का योग 3 + 8 + 6 = 17 है, और तारा 0 से 9 तक का कोई अंक है, इसलिए योग 17 से 26 तक कुछ भी हो सकता है।
17 से 26 तक की संख्याओं में 9 से सिर्फ़ 18 विभाज्य है, इसलिए तारा 1 है: 3816 = 9 × 424।
जवाब अंक 1।
उदाहरण 3 · कक्षा 5–6
सौ बार 2 लिखकर सबको आपस में गुणा किया गया: 2 × 2 × 2 × … × 2। गुणनफल का आखिरी अंक क्या है?
एक-एक करके 2 से गुणा करते हुए आखिरी अंक पर नज़र रखते हैं: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256। आखिरी अंक 2, 4, 8, 6 के क्रम में आते हैं और फिर दोहराए जाते हैं।
पैटर्न की लंबाई 4 है, और 100 = 25 × 4: सौवाँ 2 पैटर्न का 25वाँ दौर पूरा करता है और उसके 4थे स्थान पर आता है।
पैटर्न के 4थे स्थान पर 6 है, इसलिए गुणनफल का आखिरी अंक 6 है।
जवाब 6।
MathTrail हर गलत जवाब को उस जाल से समझाता है जिसमें वह फँसा। इस विषय के सबसे आम जाल ये हैं, और हर एक के साथ बच्चे से कहने लायक एक बात।
पूरे समूह और शेषफल आपस में जगह बदल लेते हैं: सवाल बसें पूछ रहा है और जवाब में बचे हुए 30 छात्र बता दिए जाते हैं, या पैटर्न के पूरे दौरों की संख्या, 25, को उसमें स्थान मान लिया जाता है।
क्या कहें
“सवाल पूरे समूहों के बारे में है या बचे हुए हिस्से के बारे में?”
जवाब में एक समूह की चूक हो जाती है: आखिरी 30 छात्रों की बस भुला दी जाती है और जवाब 3 आता है, 4 नहीं, या पैटर्न में स्थान 0 से गिने जाते हैं, 1 से नहीं।
क्या कहें
“क्या बचे हुए हिस्से के लिए एक और समूह चाहिए?”
एक स्थिति मिलते ही खोज रुक जाती है: तारा 1 है, और जब सवाल 3 के बारे में हो, तब यह जाँचा नहीं जाता कि 4 और 7 भी सही बैठते हैं या नहीं।
क्या कहें
“क्या 0 से 9 तक हर अंक आज़माया गया है?”
टॉफ़ियाँ या कार्ड परिवार में बाँटें और नतीजा दो हिस्सों में बताएँ: हर एक को कितना मिलता है, और कितना बचता है।
बड़ी संख्याएँ सोचें और उनके अंक जोड़कर जाँचें कि वे 3 और 9 से विभाज्य हैं या नहीं, फिर कैलकुलेटर पर भाग देकर देखें कि नियम कैसे काम करता है।
घूमकर लौटने वाले पैटर्न ढूँढें: हफ़्ते के दिन, माला के मनकों के रंग, 3, 9, 27, 81 के आखिरी अंक। पूछें कि 50 कदम आगे क्या आएगा।
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