MathTrailतरकीब वाली संख्याएँकक्षा 1–6
क्या 15 बच्चे घेरे में ऐसे खड़े हो सकते हैं कि पूरे घेरे में लड़का, लड़की, लड़का, लड़की बारी-बारी आएँ? इन सवालों में सम और विषम संख्याएँ सब कुछ गिने बिना या हर तरीका आज़माए बिना जवाब दे देती हैं: नौका किस किनारे पर है, इतने अंक बन सकते हैं या नहीं, आखिरी चाल किसकी होगी। बहुत से बच्चे सम-विषम में पहली बार ऐसी चीज़ से मिलते हैं, जो चालें कैसे भी चलें, वैसी ही रहती है।
चीज़ें सम संख्या में हों, तो उनके जोड़े बन जाते हैं, एक भी नहीं बचती। विषम संख्या में हमेशा एक चीज़ बिना जोड़े के रह जाती है।
सम और सम का योग सम, विषम और विषम का योग सम, और सम और विषम का योग विषम होता है। इसलिए योग सम है या नहीं, यह सिर्फ़ इस पर निर्भर है कि उसमें कितनी विषम संख्याएँ हैं।
जब दो चीज़ें बारी-बारी आती हैं, तो एक विषम जगहों पर होती है और दूसरी सम जगहों पर। पूरे घेरे में बारी-बारी का क्रम तभी बनता है, जब घेरे में जगहें सम संख्या में हों।
योग सम है या नहीं, यह जानने के लिए जोड़ने की ज़रूरत नहीं। गिनें कि उसमें कितनी विषम संख्याएँ हैं।
| योग | उसमें विषम संख्याएँ | योग है |
|---|---|---|
| 4 + 6 + 8 | एक भी नहीं | सम |
| 3 + 5 | 2 | सम |
| 3 + 5 + 7 | 3 | विषम |
| 1 + 2 + … + 10 | 5 | विषम |
सवाल में ऐसी संख्या ढूँढें, जो सम या विषम हो: कोई गिनती, कोई योग, पंक्ति में कोई जगह। देखें कि हर चाल या हर कदम से उसका क्या होता है, वह बदलती है या वैसी ही रहती है, और शुरुआत की तुलना लक्ष्य से करें। नीचे दिए उदाहरण सबसे आसान से ओलंपियाड के स्तर तक जाते हैं।
उदाहरण 1 · कक्षा 1–2
एक नौका गाड़ियों को नदी के पार ले जाती है और वापस लाती है, बार-बार। शुरू में वह बाएँ किनारे पर है। नदी को 7 बार पार करने के बाद वह किस किनारे पर होगी?
1 बार पार करने के बाद नौका दाएँ किनारे पर होती है, और 2 बार के बाद फिर बाएँ पर।
हर दो बार पार करने पर वह वहीं लौट आती है, जहाँ से चली थी। इसलिए सम बार पार करने के बाद वह बाएँ किनारे पर होती है, और विषम बार के बाद दाएँ पर।
7 विषम है, इसलिए नौका दाएँ किनारे पर है।
जवाब दाएँ किनारे पर।
उदाहरण 2 · कक्षा 3–4
रवि 4 डार्ट एक ऐसे निशाने पर फेंकता है, जिसके घेरों के 1, 3, 5 और 7 अंक हैं, और हर डार्ट निशाने पर लगता है। रवि कहता है कि उसके 15 अंक हुए। क्या यह सच हो सकता है?
हर घेरे के अंक विषम हैं।
दो विषम संख्याओं का योग सम होता है। 4 डार्ट यानी दो जोड़े, और हर जोड़े से सम अंक मिलते हैं, इसलिए 4 डार्ट मिलकर भी सम अंक ही देते हैं।
15 विषम है, इसलिए रवि के इतने अंक नहीं हो सकते।
जवाब नहीं।
उदाहरण 3 · कक्षा 5–6
तार से बने एक घन के एक कोने पर मकड़ी बैठी है। हर मिनट वह एक किनारे के साथ-साथ रेंगकर अगले कोने तक जाती है। क्या ठीक 7 मिनट बाद वह उसी कोने पर वापस पहुँच सकती है, जहाँ से चली थी?
कोनों को रंगते हैं: शुरुआत वाला सफ़ेद, उसके पड़ोसी काले, उनके पड़ोसी सफ़ेद, और इसी तरह आगे। जैसा चित्र में दिखता है, हर किनारा एक काले कोने को एक सफ़ेद कोने से जोड़ता है।
इसलिए हर मिनट रंग बदलता है: 1 मिनट बाद मकड़ी काले कोने पर होती है, 2 मिनट बाद सफ़ेद पर, और मिनटों की किसी भी विषम संख्या के बाद काले पर।
7 विषम है, और शुरुआत वाला कोना सफ़ेद है। मकड़ी वापस नहीं पहुँच सकती।
जवाब नहीं।
MathTrail हर गलत जवाब को उस जाल से समझाता है जिसमें वह फँसा। इस विषय के सबसे आम जाल ये हैं, और हर एक के साथ बच्चे से कहने लायक एक बात।
सम और विषम आपस में जगह बदल लेते हैं: मान लिया जाता है कि 7 बार पार करने के बाद नौका वहीं लौट आई, जहाँ से चली थी, या कि चार विषम संख्याओं का योग विषम होता है।
क्या कहें
“छोटी संख्याओं से आज़माओ: 1 बार पार करने के बाद नौका कहाँ है, 2 बार के बाद?”
सवाल की एक शर्त छूट जाती है: तीन डार्ट से 15 अंक बना लिए जाते हैं, और यह ध्यान नहीं रहता कि रवि ने चार फेंके थे; या ऐसी संख्या चुन ली जाती है, जो एक सुराग पर ठीक बैठती है और दूसरे पर नहीं।
क्या कहें
“सवाल फिर से पढ़ो। क्या तुम्हारा जवाब उसके हर शब्द पर ठीक बैठता है?”
पंक्ति में जगह गिनने में एक की चूक होती है: शुरुआत को ही पहली बार पार करना मान लिया जाता है, या जो पंक्ति लड़के से शुरू होकर लड़के पर खत्म होती है, उसमें लड़के और लड़कियाँ बराबर मान लिए जाते हैं।
क्या कहें
“शुरू के कुछ लिखकर देखो। नंबर 1 कौन-सा है?”
मुट्ठी में कुछ बटन छिपाएँ और बच्चे को अंदाज़ा लगाने दें: सम या विषम? फिर बटनों के जोड़े बनाकर साथ मिलकर जाँचें।
किसी भी ऐसे खेल में, जिसमें दो खिलाड़ी बारी-बारी चलते हैं, खेल खत्म होने से पहले पूछें: दसवीं चाल किसकी होगी? और पंद्रहवीं? जवाब सम-विषम से मिलता है, आगे खेलकर नहीं।
किसी गली में घरों के नंबर देखें: एक ओर सम, दूसरी ओर विषम। नंबर 37 किस ओर होगा?
“सम-विषम और बारी-बारी” विषय पर एक सवाल दें