MathTrailأعداد فيها خدعةالصفوف 5–6
يذهب 29 تلميذًا في رحلة، وتقلّ كل سيارة 4 منهم. كم سيارة تلزم؟ في هذه المسائل تُجرى القسمة مع الباقي، ثم يُحدَّد معنى هذا الباقي: سيارة إضافية، أو قطعة حلوى متبقية، أو مكان في الصف التالي. وقواعد قابلية القسمة تجيب عن السؤال «هل يقبل القسمة؟» من دون أي قسمة.
عند القسمة على 7، يكون الباقي 0 أو 1 أو 2، وهكذا حتى 6. وإذا خرج 7 أو أكثر، فهناك متسع لمجموعة أخرى.
إذا ركب 29 تلميذًا سيارات في كل منها 4 مقاعد، امتلأت 7 سيارات وبقي 1 تلميذ، لذلك يلزم 8 سيارات. ويمكن أن يُسأل عن 7 أو 8 أو 1 من القسمة نفسها: فالسؤال هو الذي يحدد.
يقبل العدد القسمة على 2 إذا كان رقمه الأخير زوجيًا، وعلى 5 إذا كان رقمه الأخير 0 أو 5، وعلى 3 أو على 9 إذا قبل مجموع أرقامه القسمة على العدد نفسه.
يمكن كتابة كل عدد صحيح في صورة مجموعات كاملة وما يتبقى. والسؤال هو الذي يحدد أيهما المطلوب.
| السؤال | القسمة · المطلوب بالأزرق | الإجابة |
|---|---|---|
| كم سيارة ذات 4 مقاعد تلزم 29 تلميذًا؟ | 29 = 7 × 4 + 1 | 8 سيارات |
| تُقسم 29 قطعة حلوى على 4 أطفال: كم قطعة لكل واحد؟ | 29 = 7 × 4 + 1 | 7 قطع لكل واحد |
| كم قطعة تتبقى من 29 قطعة حلوى؟ | 29 = 7 × 4 + 1 | 1 قطعة حلوى |
اكتبوا العدد في صورة مجموعات كاملة وما يتبقى. ثم اقرؤوا السؤال مرة أخرى وحدّدوا ما يطلبه: المجموعات، أم الباقي، أم مجموعة إضافية. وإذا كان المطلوب أصغر عدد أو الرقم الذي له خاصية ما، فجرّبوا الاحتمالات بالترتيب. تتدرّج الأمثلة أدناه من الأبسط إلى مستوى الأولمبياد.
مثال 1 · الصفوف 5–6
يذهب 150 تلميذًا في رحلة مدرسية، وفي كل حافلة 40 مقعدًا. كم حافلة تلزم؟
نعدّ التلاميذ 40 في كل مرة: 150 = 3 × 40 + 30. ثلاث حافلات ممتلئة، ويتبقى 30 تلميذًا.
والتلاميذ المتبقون، وعددهم 30، يحتاجون أيضًا إلى حافلة، حتى لو لم تمتلئ.
3 + 1 = 4 حافلات.
الإجابة 4 حافلات.
مثال 2 · الصفوف 5–6
أي رقم يجب أن يوضع مكان النجمة في 38*6 لكي يقبل العدد القسمة على 9 دون أن يتبقى شيء؟
يقبل العدد القسمة على 9 إذا وفقط إذا قبل مجموع أرقامه القسمة عليه.
مجموع الأرقام المعروفة 3 + 8 + 6 = 17، والنجمة رقم من 0 إلى 9، إذن المجموع بين 17 و26.
العدد الوحيد من 17 إلى 26 الذي يقبل القسمة على 9 هو 18، إذن النجمة هي 1: 3816 = 9 × 424.
الإجابة الرقم 1.
مثال 3 · الصفوف 5–6
ضُربت مئة عامل، كلها اثنان، بعضها في بعض: 2 × 2 × 2 × … × 2. ما آخر رقم في الناتج؟
نراقب الرقم الأخير ونحن نضرب العوامل واحدًا بعد آخر: 2، 4، 8، 16، 32، 64، 128، 256. فالأرقام الأخيرة هي 2، 4، 8، 6، ثم تتكرر.
طول النمط 4، و100 = 25 × 4: فالعامل المئة يختم الدورة رقم 25 من النمط، في المكان رقم 4 منها.
المكان رقم 4 في النمط يشغله الرقم 6، إذن ينتهي الناتج بالرقم 6.
الإجابة 6.
يشرح MathTrail كل إجابة خاطئة بالفخ الذي وقعت فيه. وهذه أكثر الفخاخ شيوعًا في هذا الموضوع، ومع كل منها ما يمكن قوله لطفلكم.
تتبادل المجموعات الكاملة والباقي مكانيهما: يُذكر عدد التلاميذ المتبقين، 30، بينما يسأل السؤال عن الحافلات، أو يُؤخذ 25، عدد الدورات الكاملة للنمط، على أنه المكان فيه.
ما يمكن قوله
«هل السؤال عن المجموعات الكاملة أم عن الباقي؟»
تخطئ الإجابة بمجموعة واحدة: تُنسى حافلة آخر 30 تلميذًا، فتصبح الإجابة 3 بدلًا من 4، أو تُعدّ الأماكن في النمط بدءًا من 0 بدلًا من 1.
ما يمكن قوله
«هل يحتاج الباقي إلى مجموعة إضافية؟»
يُعثر على حالة واحدة فيتوقف البحث: النجمة هي 1، ولا يُتحقق مما إذا كان 4 و7 يصلحان أيضًا حين يكون السؤال عن القسمة على 3.
ما يمكن قوله
«هل جرّبنا كل الأرقام من 0 إلى 9؟»
قسّموا قطع الحلوى أو البطاقات على أفراد العائلة، وقولوا النتيجة في جزأين: كم يأخذ كل فرد، وكم يتبقى.
اخترعوا أعدادًا كبيرة واختبروا قابليتها للقسمة على 3 وعلى 9 بجمع أرقامها، ثم اقسموها بالآلة الحاسبة لتروا القاعدة وهي تعمل.
ابحثوا عن أنماط تدور وتعود: أيام الأسبوع، وألوان حبات القلادة، والأرقام الأخيرة للأعداد 3، 9، 27، 81. واسألوا عما يأتي بعد 50 خطوة.
أعطني مسألة في موضوع «قابلية القسمة والبواقي»