MathTrailNombres piégésNiveaux 5–6
29 élèves partent en sortie, et chaque voiture en prend 4. Combien faut-il de voitures ? Dans ces problèmes, l’enfant fait une division avec reste, puis décide ce que signifie ce reste : une voiture de plus, un bonbon qui reste, une place au rang suivant. Les critères de divisibilité répondent à « est-ce divisible ? » sans faire la moindre division.
Dans une division par 7, le reste vaut 0, 1, 2 et ainsi de suite jusqu’à 6. S’il fait 7 ou plus, on peut encore former un groupe.
29 élèves dans des voitures de 4, c’est 7 voitures pleines, et il reste 1 élève, donc il faut 8 voitures. Avec la même division, la réponse peut être 7, 8 ou 1 : c’est la question qui décide.
Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres l’est.
Tout nombre entier peut s’écrire en groupes complets et ce qui reste. C’est la question qui décide lequel des deux elle veut.
| La question | La division · en bleu, ce qui est demandé | La réponse |
|---|---|---|
| Combien faut-il de voitures de 4 places pour 29 élèves ? | 29 = 7 × 4 + 1 | 8 voitures |
| 29 bonbons partagés entre 4 enfants : combien pour chaque enfant ? | 29 = 7 × 4 + 1 | 7 bonbons par enfant |
| Combien reste-t-il de bonbons sur les 29 ? | 29 = 7 × 4 + 1 | 1 bonbon |
Écrivez le nombre en groupes complets et ce qui reste. Puis relisez la question et décidez ce qu’elle demande : les groupes, le reste, ou un groupe de plus. Quand elle demande le plus petit nombre ou le chiffre qui a une certaine propriété, essayez-les dans l’ordre. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.
Exemple 1 · Niveaux 5–6
150 élèves partent en sortie scolaire, et chaque bus a 40 places. Combien faut-il de bus ?
On compte les élèves par groupes de 40 : 150 = 3 × 40 + 30. Trois bus sont pleins, et il reste 30 élèves.
Ces 30 élèves ont besoin d’un bus eux aussi, même si ce bus ne sera pas plein.
3 + 1 = 4 bus.
Réponse 4 bus.
Exemple 2 · Niveaux 5–6
Quel chiffre faut-il mettre à la place de l’étoile dans 38*6 pour que le nombre se divise par 9 sans reste ?
Un nombre est divisible par 9 exactement quand la somme de ses chiffres l’est.
Les chiffres connus font 3 + 8 + 6 = 17, et l’étoile est un chiffre de 0 à 9, donc la somme est comprise entre 17 et 26.
Le seul nombre de 17 à 26 divisible par 9 est 18, donc l’étoile vaut 1 : 3816 = 9 × 424.
Réponse Le chiffre 1.
Exemple 3 · Niveaux 5–6
On multiplie cent facteurs égaux à deux : 2 × 2 × 2 × … × 2. Quel est le dernier chiffre du résultat ?
On suit le dernier chiffre en multipliant les facteurs un par un : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. Les derniers chiffres sont 2, 4, 8, 6, puis ils se répètent.
Le motif compte 4 chiffres, et 100 = 25 × 4 : le centième facteur termine le 25e tour du motif, à sa 4e place.
À la 4e place du motif, il y a 6, donc le résultat se termine par 6.
Réponse 6.
MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.
Les groupes complets et le reste échangent leurs places : l’enfant donne les 30 élèves restants quand la question demande des bus, ou prend 25, le nombre de tours complets du motif, pour la place dans ce motif.
Que lui dire
« La question porte sur les groupes complets, ou sur ce qui reste ? »
La réponse a un groupe de trop ou de moins : on oublie le bus des 30 derniers élèves, 3 au lieu de 4, ou on compte les places d’un motif à partir de 0 au lieu de 1.
Que lui dire
« Faut-il un groupe de plus pour ce qui reste ? »
Un cas est trouvé et la recherche s’arrête : l’étoile vaut 1, et l’enfant ne vérifie pas si 4 et 7 conviennent aussi quand la question porte sur 3.
Que lui dire
« As-tu essayé tous les chiffres de 0 à 9 ? »
Partagez des bonbons ou des cartes entre les membres de la famille et dites le résultat en deux parties : combien chacun reçoit, et combien il en reste.
Inventez de grands nombres et testez s’ils sont divisibles par 3 et par 9 en additionnant leurs chiffres, puis divisez à la calculatrice pour voir la règle fonctionner.
Cherchez des motifs qui reviennent en boucle : les jours de la semaine, les couleurs d’un collier, les derniers chiffres de 3, 9, 27, 81. Demandez ce qui vient 50 pas plus loin.
Donne-moi un problème sur le thème « Divisibilité et restes »