MathTrailZahlen mit TrickKlassen 5–6
29 Kinder fahren auf einen Ausflug, und in jedes Auto passen 4 von ihnen. Wie viele Autos braucht man? In diesen Aufgaben teilt ein Kind mit Rest und entscheidet dann, was der Rest bedeutet: ein Auto mehr, ein übrig gebliebener Bonbon, ein Platz in der nächsten Reihe. Teilbarkeitsregeln beantworten die Frage „Ist das teilbar?“, ganz ohne zu teilen.
Beim Teilen durch 7 ist der Rest 0, 1, 2 und so weiter bis 6. Kommt 7 oder mehr heraus, passt noch eine Gruppe hinein.
29 Kinder in Autos zu je 4 sind 7 volle Autos und 1 Kind übrig, also braucht man 8 Autos. Bei derselben Division kann die gesuchte Antwort 7, 8 oder 1 sein: Das entscheidet die Frage.
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist, durch 5, wenn sie auf 0 oder 5 endet, und durch 3 oder durch 9, wenn ihre Quersumme es ist.
Jede ganze Zahl lässt sich als volle Gruppen und Rest schreiben. Die Frage entscheidet, welches von beiden gesucht ist.
| Die Frage | Die Division · in Blau, was gefragt ist | Die Antwort |
|---|---|---|
| Wie viele Autos mit 4 Plätzen brauchen 29 Kinder? | 29 = 7 × 4 + 1 | 8 Autos |
| 29 Bonbons werden an 4 Kinder verteilt: Wie viele bekommt jedes? | 29 = 7 × 4 + 1 | je 7 Bonbons |
| Wie viele der 29 Bonbons bleiben übrig? | 29 = 7 × 4 + 1 | 1 Bonbon |
Schreiben Sie die Zahl als volle Gruppen und Rest. Lesen Sie dann die Frage noch einmal und entscheiden Sie, was gesucht ist: die Gruppen, der Rest oder eine Gruppe mehr. Wird nach der kleinsten Zahl oder nach der Ziffer mit einer bestimmten Eigenschaft gefragt, probieren Sie die Möglichkeiten der Reihe nach durch. Die Beispiele unten reichen von ganz einfach bis Olympiade-Niveau.
Beispiel 1 · Klassen 5–6
150 Kinder fahren auf einen Schulausflug, und jeder Bus hat 40 Plätze. Wie viele Busse braucht man?
Die Kinder zu je 40 abzählen: 150 = 3 × 40 + 30. Drei Busse sind voll, und 30 Kinder bleiben übrig.
Auch die 30 Kinder brauchen einen Bus, selbst wenn er nicht voll wird.
3 + 1 = 4 Busse.
Antwort 4 Busse.
Beispiel 2 · Klassen 5–6
Welche Ziffer muss anstelle des Sternchens in 38*6 stehen, damit sich die Zahl ohne Rest durch 9 teilen lässt?
Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme es ist.
Die bekannten Ziffern ergeben zusammen 3 + 8 + 6 = 17, und das Sternchen ist eine Ziffer von 0 bis 9, also ist die Quersumme eine Zahl von 17 bis 26.
Die einzige Zahl von 17 bis 26, die durch 9 teilbar ist, ist 18, also ist das Sternchen 1: 3816 = 9 × 424.
Antwort Die Ziffer 1.
Beispiel 3 · Klassen 5–6
Hundert Zweien werden miteinander multipliziert: 2 × 2 × 2 × … × 2. Auf welche Ziffer endet das Ergebnis?
Die letzte Ziffer beobachten, während die Zweien eine nach der anderen multipliziert werden: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. Die letzten Ziffern sind 2, 4, 8, 6 und wiederholen sich dann.
Das Muster ist 4 Ziffern lang, und 100 = 25 × 4: Die hundertste Zwei schließt den 25. Durchlauf des Musters ab und steht an dessen 4. Stelle.
An der 4. Stelle des Musters steht 6, also endet das Ergebnis auf 6.
Antwort 6.
MathTrail erklärt jede falsche Antwort mit der Falle, die dahintersteckt. Hier sind die häufigsten in diesem Thema, jeweils mit einem Satz, den Sie Ihrem Kind sagen können.
Volle Gruppen und Rest werden vertauscht: Das Kind nennt die 30 übrigen Kinder, wenn nach Bussen gefragt ist, oder hält 25, die Zahl der vollen Durchläufe des Musters, für die Stelle darin.
Was Sie sagen können
„Fragt die Aufgabe nach den vollen Gruppen oder nach dem, was übrig bleibt?“
Die Antwort liegt um eine Gruppe daneben: Der Bus für die letzten 30 Kinder wird vergessen, 3 statt 4, oder die Stellen in einem Muster werden ab 0 statt ab 1 gezählt.
Was Sie sagen können
„Braucht der Rest noch eine Gruppe?“
Ein Fall wird gefunden, und die Suche hört auf: Das Sternchen ist 1, und das Kind prüft nicht, ob auch 4 und 7 passen, wenn es um die 3 geht.
Was Sie sagen können
„Hast du jede Ziffer von 0 bis 9 ausprobiert?“
Verteilen Sie Bonbons oder Karten in der Familie und nennen Sie das Ergebnis in zwei Teilen: wie viele jedes Familienmitglied bekommt und wie viele übrig bleiben.
Denken Sie sich große Zahlen aus und prüfen Sie über die Quersumme, ob sie durch 3 und durch 9 teilbar sind; teilen Sie dann mit dem Taschenrechner, um zu sehen, dass die Regel stimmt.
Suchen Sie nach Mustern, die sich im Kreis wiederholen: die Wochentage, die Farben einer Perlenkette, die letzten Ziffern von 3, 9, 27, 81. Fragen Sie, was 50 Schritte weiter kommt.
Gib mir eine Aufgabe zum Thema „Teilbarkeit und Reste“