MathTrailगिनती और गणनाकक्षा 5–6
खानेदार कागज़ पर एक आकृति बनाएँ: वह कितने खाने घेरती है, और उसका किनारा कितना लंबा है? इन सवालों में क्षेत्रफल खानों में गिना जाता है और परिमाप खानों की भुजाओं में, और दोनों में उलझन होना आसान है: आयत का कोने वाला एक खाना हट जाए, तब भी उसका परिमाप वही रह सकता है। कुछ भी छोड़े बिना और कुछ भी दो बार गिने बिना गिनना ही पूरा कौशल है।
खानेदार कागज़ पर किसी आकृति का क्षेत्रफल उन खानों की संख्या है जिन्हें वह घेरती है। दो आधे खाने मिलकर एक पूरा खाना बनाते हैं।
परिमाप किनारे पर आने वाली खानों की भुजाओं की संख्या है। जो भुजा आकृति के दो खानों में साझा हो, वह अंदर है और गिनी नहीं जाती।
एक ही क्षेत्रफल वाली दो आकृतियों के परिमाप अलग-अलग हो सकते हैं: एक पंक्ति में रखे चार खानों का परिमाप 10 है, और वर्ग में रखे चार खानों का 8।
हर खाने की 4 भुजाएँ होती हैं। कोई भुजा परिमाप में तभी गिनी जाती है जब उसकी दूसरी तरफ़ आकृति का कोई खाना न हो।
| आकृति | क्षेत्रफल, खानों में | परिमाप, भुजाओं में |
|---|---|---|
| 1 खाना | 1 | 4 |
| अगल-बगल 2 खाने | 2 | 4 + 4 − 2 = 6 |
| एक पंक्ति में 4 खाने | 4 | 10 |
| 2 × 2 का वर्ग | 4 | 8 |
खानेदार कागज़ पर आकृति बनाएँ। क्षेत्रफल के लिए खानों को पंक्ति-दर-पंक्ति गिनें। परिमाप के लिए किनारे पर चारों ओर चलें और रास्ते में आने वाली खानों की भुजाएँ गिनें। जब आकृति को काटा जाए, तो टुकड़ों को ऐसे क्रम में लिखें कि न कोई छूटे, न कोई दो बार गिना जाए। नीचे दिए उदाहरण सबसे आसान से ओलंपियाड के स्तर तक जाते हैं।
उदाहरण 1 · कक्षा 5–6
एक क्रॉस 5 खानों से बना है: एक बीच में, और बीच वाले की चारों भुजाओं पर एक-एक। खानों की भुजाओं में क्रॉस का परिमाप कितना है?
क्रॉस के 4 सिरों में से हर एक की 3 भुजाएँ बाहर की ओर हैं, इसलिए सिरे 4 × 3 = 12 भुजाएँ देते हैं।
बीच वाले खाने की कोई भुजा बाहर नहीं है, क्योंकि उसकी हर भुजा किसी सिरे से लगी है।
इसलिए परिमाप खानों की 12 भुजाओं के बराबर है।
जवाब खानों की 12 भुजाएँ।
उदाहरण 2 · कक्षा 5–6
2 × 4 खानों की एक पट्टी को ग्रिड की रेखाओं के साथ-साथ 4 खानों वाले दो टुकड़ों में काटा जाता है, और हर टुकड़ा जुड़ा हुआ रहना चाहिए। इसे कितने अलग-अलग तरीकों से काटा जा सकता है?
बीच से लंबाई में सीधा काटने पर 4 खानों वाली दो पंक्तियाँ मिलती हैं: 1 तरीका।
बीच से चौड़ाई में सीधा काटने पर 2 × 2 के दो वर्ग मिलते हैं: 1 तरीका।
अगर काटने की रेखा पहले चौड़ाई में, फिर लंबाई में, फिर से चौड़ाई में चले, तो दो L आकार मिलते हैं, और उसका मोड़ एक ओर भी हो सकता है और दूसरी ओर भी: 2 तरीके। कुल 4 तरीके।
जवाब 4 तरीके।
उदाहरण 3 · कक्षा 5–6
खानेदार कागज़ पर 3 × 5 खानों का एक आयत बना है, और उसके एक कोने से विपरीत कोने तक एक रेखा खींची गई है। यह रेखा कितने खानों से होकर गुज़रती है? कोई खाना तभी गिना जाता है जब रेखा उसके अंदर से गुज़रे, सिर्फ़ उसके कोने को छूने पर नहीं।
एक कोने से दूसरे कोने तक जाते हुए रेखा जब भी आयत के अंदर ग्रिड की कोई रेखा पार करती है, एक नए खाने में पहुँच जाती है।
वह एक दिशा की 4 रेखाएँ और दूसरी दिशा की 2 रेखाएँ पार करती है, और कभी दो रेखाएँ एक साथ नहीं: 1 के सिवा 3 और 5 का कोई सार्व गुणनखंड नहीं, इसलिए रास्ते में रेखा खानों के किसी कोने से नहीं गुज़रती।
वह 1 खाने में शुरू होती है और 4 + 2 = 6 और खानों में जाती है, कुल 7 खाने।
जवाब 7 खाने।
MathTrail हर गलत जवाब को उस जाल से समझाता है जिसमें वह फँसा। इस विषय के सबसे आम जाल ये हैं, और हर एक के साथ बच्चे से कहने लायक एक बात।
एक ही चीज़ दो बार गिनी जाती है: खानों की साझा भुजाएँ परिमाप में जोड़ दी जाती हैं, या पट्टी को काटने का हर तरीका उसके दोनों टुकड़ों के लिए एक-एक बार लिख लिया जाता है।
क्या कहें
“क्या कोई भुजा, या काटने का कोई तरीका, दोनों ओर से गिना गया है?”
कोई स्थिति छूट जाती है: काटने का वह तरीका जिसका मोड़ उलटी ओर है, अंदर वाले कोने में किनारे का एक टुकड़ा, या लेटे हुए डोमिनो के साथ खड़े डोमिनो भी।
क्या कहें
“क्या कोई तरीका अभी आज़माया नहीं गया, जैसे उलटी ओर वाला?”
कोई शर्त छूट जाती है: बिखर जाने वाले टुकड़े को भी टुकड़ा गिन लिया जाता है, सिर्फ़ कोने से छूने वाले खाने को पड़ोसी मान लिया जाता है, या कहा जाता है कि रेखा उस खाने से गुज़रती है जिसे वह सिर्फ़ छूती है।
क्या कहें
“क्या यह टुकड़ा, या यह खाना, सच में वैसा है जैसा सवाल कहता है?”
खानेदार कागज़ पास रखें और साथ मिलकर 4 या 5 खानों की आकृतियाँ बनाएँ। किसका किनारा सबसे लंबा है? किसका सबसे छोटा?
परिमाप गिनने के लिए उँगली को किनारे पर भुजा-दर-भुजा चलाएँ। फिर हर खाने की बाहरी भुजाएँ गिनें, और जाँचें कि दोनों गिनतियाँ मिलती हैं।
कागज़ की एक पट्टी को एक ही आकार के दो टुकड़ों में, जितने तरीकों से हो सके, काटें। उन्हें ऐसे रखें कि कोई तरीका न छूटे और न दोहराया जाए।
“वर्गाकार ग्रिड पर आकृतियाँ” विषय पर एक सवाल दें