MathTrailالعدّ والحصرالصفوف 5–6
ارسموا شكلًا على ورق المربعات: كم مربعًا يغطي، وما طول حافته؟ في هذه المسائل تُقاس المساحة بالمربعات والمحيط بأضلاع المربعات، ومن السهل الخلط بينهما: فقد يفقد المستطيل مربع إحدى زواياه ويبقى محيطه كما هو. والمهارة كلها في العدّ دون إغفال شيء ودون حساب شيء مرتين.
مساحة الشكل على ورق المربعات هي عدد المربعات التي يغطيها. ونصفا مربع يكوّنان مربعًا كاملًا.
المحيط هو عدد أضلاع المربعات على حافة الشكل. والضلع المشترك بين مربعين من الشكل يقع في الداخل، فلا يُحسب.
قد يكون لشكلين لهما المساحة نفسها محيطان مختلفان: أربعة مربعات في صف محيطها 10، وأربعة مربعات على هيئة مربع محيطها 8.
لكل مربع 4 أضلاع. ولا يُحسب الضلع في المحيط إلا إذا لم يكن على جانبه الآخر مربع من الشكل.
| الشكل | المساحة بالمربعات | المحيط بالأضلاع |
|---|---|---|
| 1 مربع | 1 | 4 |
| 2 مربعان متجاوران | 2 | 4 + 4 − 2 = 6 |
| 4 مربعات في صف | 4 | 10 |
| مربع 2 في 2 | 4 | 8 |
ارسموا الشكل على ورق المربعات. للمساحة، عدّوا المربعات صفًا بعد صف. وللمحيط، تتبّعوا الحافة وعدّوا أضلاع المربعات التي تمرّون بها. وعندما يُقص الشكل، اكتبوا القطع بترتيب لا يُغفل أي قطعة ولا يحسب قطعة مرتين. تتدرّج الأمثلة أدناه من الأبسط إلى مستوى الأولمبياد.
مثال 1 · الصفوف 5–6
يتكوّن شكل على هيئة علامة الجمع من 5 مربعات: مربع في الوسط، ومربع على كل جانب من جوانبه الأربعة. ما محيط الشكل بأضلاع المربعات؟
الأذرع 4، ولكل منها 3 أضلاع تطل على الخارج، إذن تعطي الأذرع 4 × 3 = 12 ضلعًا.
وليس للمربع الأوسط أي ضلع في الخارج، لأن كل ضلع من أضلاعه يلامس ذراعًا.
إذن المحيط 12 ضلعًا من أضلاع المربعات.
الإجابة 12 ضلعًا من أضلاع المربعات.
مثال 2 · الصفوف 5–6
يُقص شريط من 2 في 4 مربعات على خطوط الشبكة إلى قطعتين، في كل منهما 4 مربعات، ويجب أن تبقى كل قطعة متصلة. بكم طريقة مختلفة يمكن قصه؟
القص المستقيم بالطول عبر المنتصف يعطي صفين من 4: 1 طريقة.
القص المستقيم بالعرض عبر المنتصف يعطي مربعين 2 في 2: 1 طريقة.
القص الذي يسير بالعرض، ثم بالطول، ثم بالعرض يعطي قطعتين على شكل زاوية، ودرجته يمكن أن تتجه إلى جهة أو إلى الأخرى: 2 طريقتان. وفي المجموع 4 طرق.
الإجابة 4 طرق.
مثال 3 · الصفوف 5–6
رُسم على ورق المربعات مستطيل من 3 في 5 مربعات، ورُسم خط من إحدى زواياه إلى الزاوية المقابلة. كم مربعًا يمر به الخط؟ يُحسب المربع إذا عبر الخط داخله، لا إذا لمس زاويته فقط.
في طريقه من زاوية إلى زاوية، يدخل الخط مربعًا جديدًا كلما عبر خطًا من خطوط الشبكة داخل المستطيل.
يعبر 4 خطوط في اتجاه و2 في الاتجاه الآخر، ولا يعبر خطين معًا أبدًا: فليس للعددين 3 و5 قاسم مشترك غير 1، لذلك لا يمر الخط في طريقه بأي نقطة تقاطع من نقاط الشبكة.
يبدأ الخط في 1 مربع، ثم يدخل 4 + 2 = 6 مربعات أخرى، أي 7 مربعات في المجموع.
الإجابة 7 مربعات.
يشرح MathTrail كل إجابة خاطئة بالفخ الذي وقعت فيه. وهذه أكثر الفخاخ شيوعًا في هذا الموضوع، ومع كل منها ما يمكن قوله لطفلكم.
يُحسب الشيء نفسه مرتين: تُضاف الأضلاع المشتركة بين المربعات إلى المحيط، أو تُكتب كل طريقة لقص الشريط مرتين، مرة لكل قطعة من قطعتيها.
ما يمكن قوله
«هل حُسب أي ضلع، أو أي قص، من الجهتين؟»
تُغفل حالة: قص درجته في الاتجاه الآخر، أو جزء من الحافة في زاوية داخلية، أو قطع الدومينو العمودية إلى جانب الأفقية.
ما يمكن قوله
«هل هناك طريقة لم نجربها بعد، بالعكس مثلًا؟»
يضيع أحد الشروط: تُحسب قطعة متفككة قطعة واحدة، أو يُعدّ مربع لا يلامس غيره إلا بزاويته مربعًا مجاورًا، أو يُقال إن الخط يمر عبر مربع لا يفعل سوى لمسه.
ما يمكن قوله
«هل هذه القطعة، أو هذا المربع، يطابق فعلًا ما يقوله نص المسألة؟»
احتفظوا بورق المربعات في متناول اليد، وارسموا معًا أشكالًا من 4 أو 5 مربعات. أيها حافته الأطول؟ وأيها حافته الأقصر؟
عدّوا المحيط بتمرير الإصبع على الحافة، ضلعًا بعد ضلع. ثم عدّوا الأضلاع الخارجية لكل مربع، وتحققوا من تطابق العددين.
قصّوا شريطًا من الورق إلى قطعتين متساويتين في الحجم بأكبر عدد ممكن من الطرق. ورتّبوها بحيث لا تُغفل أي طريقة ولا تتكرر.
أعطني مسألة في موضوع «أشكال على ورق المربعات»