MathTrailConteo y recuento5–6 de primaria
Dibuje una figura en papel cuadriculado: ¿cuántas casillas ocupa y cuánto mide su borde? En estos problemas el área se cuenta en casillas y el perímetro en lados de casilla, y es fácil confundirlos: un rectángulo puede perder la casilla de una esquina y conservar su perímetro. Toda la habilidad está en contar sin saltarse nada y sin contar nada dos veces.
El área de una figura en papel cuadriculado es el número de casillas que ocupa. Dos medias casillas forman una entera.
El perímetro es el número de lados de casilla que hay en el borde. Un lado que comparten dos casillas de la figura queda dentro y no cuenta.
Dos figuras con la misma área pueden tener perímetros distintos: cuatro casillas en fila tienen un perímetro de 10, y cuatro en cuadrado, de 8.
Cada casilla tiene 4 lados. Un lado cuenta para el perímetro solo si al otro lado no hay ninguna casilla de la figura.
| La figura | Área, en casillas | Perímetro, en lados |
|---|---|---|
| 1 casilla | 1 | 4 |
| 2 casillas juntas | 2 | 4 + 4 − 2 = 6 |
| 4 casillas en fila | 4 | 10 |
| un cuadrado de 2 por 2 | 4 | 8 |
Dibuje la figura en papel cuadriculado. Para el área, cuente las casillas fila por fila. Para el perímetro, recorra el borde y cuente los lados de casilla por los que pasa. Cuando se corta una figura, enumere las partes en un orden con el que no se pueda saltar ninguna ni contar ninguna dos veces. Los ejemplos de abajo van del más sencillo a uno de olimpiada.
Ejemplo 1 · 5–6 de primaria
Una cruz está formada por 5 casillas: una en el centro y otra a cada uno de sus cuatro lados. ¿Cuál es el perímetro de la cruz, en lados de casilla?
Cada uno de los 4 brazos tiene 3 lados que dan al exterior, así que los brazos suman 4 × 3 = 12 lados.
La casilla del centro no tiene ningún lado que dé al exterior, porque cada uno de sus lados toca un brazo.
Así que el perímetro es de 12 lados de casilla.
Respuesta 12 lados de casilla.
Ejemplo 2 · 5–6 de primaria
Una tira de 2 por 4 casillas se corta por las líneas de la cuadrícula en dos partes de 4 casillas cada una, y cada parte tiene que quedar de una pieza. ¿De cuántas maneras distintas se puede cortar?
Un corte recto a lo largo, por el medio, da dos filas de 4: 1 manera.
Un corte recto a lo ancho, por el medio, da dos cuadrados de 2 por 2: 1 manera.
Un corte que va a lo ancho, después a lo largo y de nuevo a lo ancho da dos partes en forma de L, y su escalón puede ir hacia un lado o hacia el otro: 2 maneras. En total, 4 maneras.
Respuesta 4 maneras.
Ejemplo 3 · 5–6 de primaria
En papel cuadriculado se dibuja un rectángulo de 3 por 5 casillas, y se traza un segmento de una esquina a la opuesta. ¿Por cuántas casillas pasa el segmento? Una casilla cuenta si el segmento atraviesa su interior, no si solo toca una de sus esquinas.
Al ir de esquina a esquina, el segmento entra en una casilla nueva cada vez que cruza una línea de la cuadrícula dentro del rectángulo.
Cruza 4 líneas en una dirección y 2 en la otra, y nunca dos a la vez: 3 y 5 no tienen más divisor común que el 1, así que el segmento no pasa por ningún nodo de la cuadrícula en su camino.
Empieza en 1 casilla y entra en 4 + 2 = 6 más, 7 casillas en total.
Respuesta 7 casillas.
MathTrail explica cada respuesta incorrecta por la trampa en la que cayó. Estas son las más frecuentes en este tema, con algo que puede decirle a su hijo o hija.
Se cuenta dos veces lo mismo: los lados que comparten las casillas se suman al perímetro, o cada corte de la tira se apunta una vez por cada una de sus dos partes.
Qué decirle
«¿Has contado algún lado, o algún corte, desde los dos lados?»
Se pasa por alto un caso: un corte cuyo escalón va hacia el otro lado, un trozo de borde en una esquina interior, o los dominós en vertical además de los que están en horizontal.
Qué decirle
«¿Hay alguna manera que aún no has probado, al revés?»
Se pierde una condición: una parte que se deshace en trozos se cuenta como una parte, una casilla que solo toca por una esquina se cuenta como vecina, o se dice que el segmento pasa por una casilla que solo toca.
Qué decirle
«¿Esta parte, o esta casilla, cumple de verdad lo que dice el enunciado?»
Tenga papel cuadriculado a mano y dibuje con su hijo o hija figuras de 4 o 5 casillas. ¿Cuál tiene el borde más largo? ¿Y cuál, el más corto?
Cuente un perímetro recorriendo el borde con un dedo, lado por lado. Después cuente los lados exteriores de cada casilla y compruebe que los dos resultados coinciden.
Corte una tira de papel en dos partes del mismo tamaño de todas las maneras que encuentre. Colóquelas de modo que no falte ni se repita ninguna.
Dame un problema de figuras en cuadrícula