MathTrailCompter et dénombrerNiveaux 5–6
Dessinez une figure sur papier quadrillé : combien de cases couvre-t-elle, et quelle est la longueur de son bord ? Dans ces problèmes, l’aire se compte en cases et le périmètre en côtés de case, et il est facile de confondre les deux : un rectangle peut perdre la case d’un coin et garder son périmètre. Tout l’art est de compter sans rien oublier et sans rien compter deux fois.
L’aire d’une figure sur papier quadrillé est le nombre de cases qu’elle couvre. Deux demi-cases font une case entière.
Le périmètre est le nombre de côtés de case sur le bord. Un côté que partagent deux cases de la figure est à l’intérieur et ne compte pas.
Deux figures de même aire peuvent avoir des périmètres différents : quatre cases en ligne ont un périmètre de 10, et quatre en carré, de 8.
Chaque case a 4 côtés. Un côté ne compte dans le périmètre que si aucune case de la figure ne se trouve derrière lui.
| La figure | Aire, en cases | Périmètre, en côtés |
|---|---|---|
| 1 case | 1 | 4 |
| 2 cases côte à côte | 2 | 4 + 4 − 2 = 6 |
| 4 cases en ligne | 4 | 10 |
| un carré de 2 sur 2 | 4 | 8 |
Dessinez la figure sur papier quadrillé. Pour l’aire, comptez les cases ligne par ligne. Pour le périmètre, faites le tour du bord et comptez les côtés de case que vous longez. Quand une figure est découpée, énumérez les morceaux dans un ordre qui ne permet ni d’en oublier un ni d’en compter un deux fois. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.
Exemple 1 · Niveaux 5–6
Une croix est formée de 5 cases : une au milieu, et une contre chacun de ses quatre côtés. Quel est le périmètre de la croix, en côtés de case ?
Chacun des 4 bras a 3 côtés qui donnent sur l’extérieur, ce qui fait 4 × 3 = 12 côtés pour les bras.
La case du milieu n’a aucun côté sur l’extérieur, puisque chacun de ses côtés touche un bras.
Le périmètre est donc de 12 côtés de case.
Réponse 12 côtés de case.
Exemple 2 · Niveaux 5–6
Une bande de 2 sur 4 cases est découpée le long des lignes du quadrillage en deux morceaux de 4 cases chacun, et chaque morceau doit rester d’un seul tenant. De combien de façons différentes peut-on la découper ?
Une coupe droite en long, par le milieu, donne deux rangées de 4 : 1 façon.
Une coupe droite en travers, par le milieu, donne deux carrés de 2 sur 2 : 1 façon.
Une coupe qui va en travers, puis en long, puis de nouveau en travers donne deux formes en L, et sa marche peut aller d’un côté ou de l’autre : 2 façons. En tout, 4 façons.
Réponse 4 façons.
Exemple 3 · Niveaux 5–6
Un rectangle de 3 sur 5 cases est dessiné sur papier quadrillé, et on trace un segment d’un coin au coin opposé. Par combien de cases ce segment passe-t-il ? Une case compte quand le segment traverse son intérieur, et non quand il touche seulement un coin.
En allant d’un coin à l’autre, le segment entre dans une nouvelle case chaque fois qu’il franchit une ligne du quadrillage à l’intérieur du rectangle.
Il franchit 4 lignes dans un sens et 2 dans l’autre, et jamais deux à la fois : 3 et 5 n’ont pas d’autre diviseur commun que 1, donc le segment ne passe par aucun nœud du quadrillage en chemin.
Il commence dans 1 case, puis entre dans 4 + 2 = 6 autres : 7 cases en tout.
Réponse 7 cases.
MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.
La même chose est comptée deux fois : les côtés que partagent les cases sont ajoutés au périmètre, ou chaque coupe de la bande est notée une fois pour chacun de ses deux morceaux.
Que lui dire
« As-tu compté un côté, ou une coupe, des deux côtés ? »
Un cas est oublié : une coupe dont la marche va dans l’autre sens, un morceau de bord dans un coin rentrant, ou les dominos verticaux en plus des horizontaux.
Que lui dire
« Y a-t-il une façon que tu n’as pas encore essayée, dans l’autre sens ? »
Une condition est oubliée : un morceau qui n’est pas d’un seul tenant est compté comme un morceau, une case qui ne touche que par un coin est comptée comme voisine, ou l’on dit que le segment passe par une case qu’il ne fait que toucher.
Que lui dire
« As-tu vérifié que ce morceau, ou cette case, correspond vraiment à ce que dit l’énoncé ? »
Gardez du papier quadrillé sous la main et dessinez ensemble des figures de 4 ou 5 cases. Laquelle a le bord le plus long ? Laquelle a le plus court ?
Comptez un périmètre en suivant le bord du doigt, côté par côté. Puis comptez les côtés extérieurs de chaque case, et vérifiez que les deux résultats concordent.
Découpez une bande de papier en deux morceaux de même taille, de toutes les façons que vous trouvez. Disposez-les de sorte qu’aucune façon ne soit oubliée ni répétée.
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