MathTrailContagemAnos 5–6
Desenhe uma figura no papel quadriculado: quantos quadradinhos ela ocupa e qual é o comprimento do seu contorno? Nestes problemas, a área se conta em quadradinhos e o perímetro em lados de quadradinho, e é fácil confundir os dois: um retângulo pode perder um quadradinho do canto e manter o mesmo perímetro. Toda a habilidade está em contar sem pular nada e sem contar nada duas vezes.
A área de uma figura no papel quadriculado é o número de quadradinhos que ela ocupa. Duas metades de quadradinho formam um quadradinho inteiro.
O perímetro é o número de lados de quadradinho no contorno. Um lado que dois quadradinhos da figura compartilham fica no interior e não conta.
Duas figuras de mesma área podem ter perímetros diferentes: quatro quadradinhos em fila têm perímetro 10, e quatro em quadrado têm 8.
Cada quadradinho tem 4 lados. Um lado entra no perímetro só quando não há nenhum quadradinho da figura do outro lado dele.
| A figura | Área, em quadradinhos | Perímetro, em lados |
|---|---|---|
| 1 quadradinho | 1 | 4 |
| 2 quadradinhos lado a lado | 2 | 4 + 4 − 2 = 6 |
| 4 quadradinhos em fila | 4 | 10 |
| um quadrado de 2 por 2 | 4 | 8 |
Desenhe a figura no papel quadriculado. Para a área, conte os quadradinhos fileira por fileira. Para o perímetro, percorra o contorno e conte os lados de quadradinho por onde passar. Quando uma figura é cortada, liste as partes numa ordem em que nenhuma fique de fora e nenhuma seja contada duas vezes. Os exemplos abaixo vão do mais simples a um de olimpíada.
Exemplo 1 · Anos 5–6
Uma cruz é formada por 5 quadradinhos: um no meio e um em cada um dos seus quatro lados. Qual é o perímetro da cruz, em lados de quadradinho?
Cada um dos 4 braços tem 3 lados voltados para fora, então os braços dão 4 × 3 = 12 lados.
O quadradinho do meio não tem nenhum lado para fora, já que cada um dos seus lados encosta num braço.
Então o perímetro é de 12 lados de quadradinho.
Resposta 12 lados de quadradinho.
Exemplo 2 · Anos 5–6
Uma tira de 2 por 4 quadradinhos é cortada pelas linhas da malha em duas partes de 4 quadradinhos cada, e cada parte tem que formar uma peça só. De quantas maneiras diferentes ela pode ser cortada?
Um corte reto pelo meio, ao comprido, dá duas fileiras de 4: 1 maneira.
Um corte reto pelo meio, na transversal, dá dois quadrados de 2 por 2: 1 maneira.
Um corte que vai na transversal, depois ao comprido e de novo na transversal dá duas partes em forma de L, e o seu degrau pode ir para um lado ou para o outro: 2 maneiras. No total, 4 maneiras.
Resposta 4 maneiras.
Exemplo 3 · Anos 5–6
No papel quadriculado, desenha-se um retângulo de 3 por 5 quadradinhos e traça-se um segmento de um canto até o canto oposto. Por quantos quadradinhos o segmento passa? Um quadradinho conta quando o segmento atravessa o seu interior, não quando só encosta num canto dele.
Indo de canto a canto, o segmento entra num quadradinho novo cada vez que cruza uma linha da malha dentro do retângulo.
Ele cruza 4 linhas numa direção e 2 na outra, e nunca duas ao mesmo tempo: 3 e 5 não têm divisor comum além de 1, então o segmento não passa por nenhum vértice da malha no caminho.
Ele começa em 1 quadradinho e entra em mais 4 + 2 = 6, 7 quadradinhos no total.
Resposta 7 quadradinhos.
O MathTrail explica cada resposta errada pela armadilha em que ela caiu. Estas são as mais comuns neste tema, com algo que você pode dizer à criança.
A mesma coisa é contada duas vezes: os lados que os quadradinhos compartilham entram no perímetro, ou cada corte da tira é listado uma vez para cada uma das suas duas partes.
O que dizer
“Algum lado, ou algum corte, foi contado pelos dois lados?”
Um caso fica de fora: um corte cujo degrau vai para o outro lado, um pedaço de contorno num canto interno, ou os dominós em pé, além dos deitados.
O que dizer
“Tem algum jeito ainda não testado, ao contrário?”
Uma condição se perde: uma parte que se desmancha é contada como parte, um quadradinho que só encosta pelo canto é contado como vizinho, ou se diz que o segmento passa por um quadradinho em que só encosta.
O que dizer
“Esta parte, ou este quadradinho, combina mesmo com o que o enunciado diz?”
Tenha papel quadriculado à mão e desenhe com a criança figuras de 4 ou 5 quadradinhos. Qual tem o contorno mais comprido? Qual tem o mais curto?
Conte um perímetro passando o dedo pelo contorno, lado por lado. Depois conte os lados externos de cada quadradinho e confira se as duas contagens batem.
Corte uma tira de papel em duas partes do mesmo tamanho, de todas as maneiras que encontrar. Arrume os resultados de modo que nenhum fique de fora nem se repita.
Quero um problema de figuras na malha quadriculada