MathTrailZählen und AbzählenKlassen 5–6
Zeichnen Sie eine Figur auf Karopapier: Wie viele Kästchen bedeckt sie, und wie lang ist ihr Rand? In diesen Aufgaben wird der Flächeninhalt in Kästchen gezählt und der Umfang in Kästchenseiten, und beides ist leicht zu verwechseln: Ein Rechteck kann ein Eckkästchen verlieren und seinen Umfang behalten. Zählen, ohne etwas auszulassen und ohne etwas doppelt zu zählen, ist die ganze Kunst.
Der Flächeninhalt einer Figur auf Karopapier ist die Anzahl der Kästchen, die sie bedeckt. Zwei halbe Kästchen ergeben ein ganzes.
Der Umfang ist die Anzahl der Kästchenseiten am Rand. Eine Seite, die zwei Kästchen der Figur gemeinsam haben, liegt innen und zählt nicht.
Zwei Figuren mit gleichem Flächeninhalt können verschiedene Umfänge haben: Vier Kästchen in einer Reihe haben den Umfang 10, vier im Quadrat den Umfang 8.
Jedes Kästchen hat 4 Seiten. Eine Seite zählt nur dann zum Umfang, wenn auf ihrer anderen Seite kein Kästchen der Figur liegt.
| Die Figur | Flächeninhalt in Kästchen | Umfang in Seiten |
|---|---|---|
| 1 Kästchen | 1 | 4 |
| 2 Kästchen nebeneinander | 2 | 4 + 4 − 2 = 6 |
| 4 Kästchen in einer Reihe | 4 | 10 |
| ein Quadrat aus 2 mal 2 | 4 | 8 |
Zeichnen Sie die Figur auf Karopapier. Für den Flächeninhalt zählen Sie die Kästchen Reihe für Reihe. Für den Umfang gehen Sie den Rand entlang und zählen die Kästchenseiten, an denen Sie vorbeikommen. Wird eine Figur zerschnitten, listen Sie die Teile in einer Reihenfolge auf, in der keines fehlen und keines doppelt gezählt werden kann. Die Beispiele unten reichen von ganz einfach bis Olympiade-Niveau.
Beispiel 1 · Klassen 5–6
Ein Kreuz besteht aus 5 Kästchen: einem in der Mitte und je einem an jeder seiner vier Seiten. Wie groß ist der Umfang des Kreuzes in Kästchenseiten?
Jeder der 4 Arme hat 3 Seiten, die nach außen zeigen, also ergeben die Arme 4 × 3 = 12 Seiten.
Das mittlere Kästchen hat keine Seite außen, denn jede seiner Seiten berührt einen Arm.
Also beträgt der Umfang 12 Kästchenseiten.
Antwort 12 Kästchenseiten.
Beispiel 2 · Klassen 5–6
Ein Streifen aus 2 mal 4 Kästchen wird entlang der Gitterlinien in zwei Teile aus je 4 Kästchen zerschnitten, und jedes Teil muss zusammenhängen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, ihn so zu zerschneiden?
Ein gerader Schnitt längs durch die Mitte ergibt zwei Reihen aus je 4 Kästchen: 1 Möglichkeit.
Ein gerader Schnitt quer durch die Mitte ergibt zwei Quadrate aus 2 mal 2: 1 Möglichkeit.
Ein Schnitt, der erst quer, dann längs und dann wieder quer verläuft, ergibt zwei L-Formen, und seine Stufe kann in die eine oder die andere Richtung gehen: 2 Möglichkeiten. Insgesamt 4 Möglichkeiten.
Antwort 4 Möglichkeiten.
Beispiel 3 · Klassen 5–6
Auf Karopapier ist ein Rechteck aus 3 mal 5 Kästchen gezeichnet, und von einer Ecke zur gegenüberliegenden ist eine Linie gezogen. Durch wie viele Kästchen geht die Linie? Ein Kästchen zählt, wenn die Linie durch sein Inneres geht, nicht wenn sie nur eine Ecke berührt.
Auf dem Weg von Ecke zu Ecke kommt die Linie jedes Mal in ein neues Kästchen, wenn sie innerhalb des Rechtecks eine Gitterlinie kreuzt.
Dabei kreuzt sie 4 Gitterlinien in der einen Richtung und 2 in der anderen, und nie zwei auf einmal: 3 und 5 haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1, also trifft die Linie unterwegs keinen Gitterpunkt.
Die Linie beginnt in 1 Kästchen und kommt in 4 + 2 = 6 weitere, insgesamt 7 Kästchen.
Antwort 7 Kästchen.
MathTrail erklärt jede falsche Antwort mit der Falle, die dahintersteckt. Hier sind die häufigsten in diesem Thema, jeweils mit einem Satz, den Sie Ihrem Kind sagen können.
Dasselbe wird doppelt gezählt: Die gemeinsamen Seiten der Kästchen werden zum Umfang addiert, oder jeder Schnitt des Streifens wird einmal für jedes seiner beiden Teile aufgelistet.
Was Sie sagen können
„Wurde eine Seite oder ein Schnitt von beiden Seiten aus gezählt?“
Ein Fall wird übersehen: ein Schnitt, dessen Stufe in die andere Richtung geht, ein Stück Rand in einer inneren Ecke oder die senkrecht stehenden Dominosteine, nicht nur die waagerecht liegenden.
Was Sie sagen können
„Gibt es eine Möglichkeit, die du noch nicht probiert hast, andersherum?“
Eine Bedingung geht verloren: Ein Teil, das auseinanderfällt, wird als Teil gezählt, ein Kästchen, das nur mit einer Ecke anstößt, als Nachbarkästchen, oder es heißt, die Linie gehe durch ein Kästchen, das sie nur berührt.
Was Sie sagen können
„Passt dieses Teil oder dieses Kästchen wirklich zu dem, was in der Aufgabe steht?“
Halten Sie Karopapier bereit und zeichnen Sie gemeinsam Figuren aus 4 oder 5 Kästchen. Welche hat den längsten Rand? Welche den kürzesten?
Zählen Sie einen Umfang, indem Sie den Rand Seite für Seite mit dem Finger nachfahren. Zählen Sie dann die Außenseiten jedes Kästchens und prüfen Sie, ob beide Ergebnisse übereinstimmen.
Zerschneiden Sie einen Papierstreifen auf so viele Arten, wie Sie finden können, in zwei gleich große Teile. Legen Sie die Teile so aus, dass keine Möglichkeit fehlt und keine doppelt vorkommt.
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