例題1 · 5–6年生
十字形
5マスで十字形を作ります。まん中に1マスあり、その上下左右に1マスずつつけます。十字形のまわりの長さは、マスの辺何本分ですか。
十字の先の4マスには、外側を向いた辺がそれぞれ3本あるので、4 × 3 = 12本です。
まん中のマスには、外側を向いた辺がありません。どの辺も先のマスに接しているからです。
したがって、まわりの長さはマスの辺12本分です。
答え マスの辺12本分です。
数え上げ5–6年生
方眼紙の図形
方眼紙に図形をかいてみてください。図形はいくつのマスをおおい、ふちの長さはどれだけでしょう？こうした問題では、面積をマスの数で、まわりの長さをマスの辺の数で数えます。この2つは取りちがえやすく、長方形は角のマスがなくなっても、まわりの長さが変わらないことがあります。もれなく、重なりなく数えること、それが求められる力のすべてです。
- 解き方のカギ
- マスごとに外側の辺を数える
- 身につく力
- 面積とまわりの長さを区別し、マスと辺をもれなく、重なりなく数える力
マス目のルール
面積はマスの数
方眼紙にかいた図形の面積は、その図形がおおうマスの数です。半分のマス2つで、1マスになります。
まわりの長さは辺の数
まわりの長さは、ふちにあるマスの辺の数です。図形のマスどうしが共有する辺は内側にあるので、数えません。
別のもの
面積が同じでも、まわりの長さがちがう図形があります。一列に並んだ4マスのまわりの長さは10、正方形に並んだ4マスは8です。
外側の辺を数える
どのマスにも辺は4本あります。辺がまわりの長さに入るのは、その辺の向こう側に図形のマスがないときだけです。
| 図形 | 面積（マス） | まわりの長さ（辺） |
|---|---|---|
| 1マス | 1 | 4 |
| となり合う2マス | 2 | 4 + 4 − 2 = 6 |
| 一列に並んだ4マス | 4 | 10 |
| 2 × 2の正方形 | 4 | 8 |
解き方：ふちをたどる
図形を方眼紙にかきます。面積は、マスを横の列ごとに数えます。まわりの長さは、ふちをひと回りたどりながら、通ったマスの辺を数えます。図形を切り分けるときは、もれも重なりも出ない順番で部分を書き出します。下の例題は、いちばんやさしい問題から算数オリンピックの問題へと進みます。
- 図形を方眼紙にかく
- 面積はマスを、まわりの長さは外側の辺を数える
- 別の数え方で確かめる
例題2 · 5–6年生
帯を2つに
たて2マス、横4マスの帯を、マス目の線にそって、4マスずつの2つの部分に切り分けます。どちらの部分も、ばらばらにならずにつながっていなければなりません。切り方は何通りありますか。
まん中で横にまっすぐ切ると、4マスが一列に並んだ部分が2つできます。これで1通りです。
まん中でたてにまっすぐ切ると、2 × 2の正方形が2つできます。これで1通りです。
たて、横、たての順に切ると、L字形の部分が2つできます。段差はどちら向きにもできるので、2通りです。全部で4通りです。
答え 4通りです。
例題3 · 5–6年生
対角線
方眼紙に、たて3マス、横5マスの長方形をかき、角から向かい合う角まで線を引きます。この線が通るマスは、何マスですか。線がマスの内側を通るときは数え、マスの角にふれるだけのときは数えません。
角から角へ進むあいだ、線は、長方形の内側でマス目の線を横切るたびに、新しいマスに入ります。
線は、一方の向きの線を4本、もう一方の向きの線を2本横切り、2本を同時に横切ることはありません。3と5の公約数は1だけなので、途中でマス目の角（格子点）を通らないからです。
線は1マスから始まり、さらに4 + 2 = 6マスに入るので、全部で7マスです。
答え 7マスです。
つまずきやすいところ
MathTrail は、間違った答えを一つひとつ、どのひっかけにかかったのかから解説します。このテーマでよくあるひっかけを、お子さまへの声かけの例と一緒に紹介します。
- ひっかけ
同じものを2回数える
同じものを二重に数えてしまいます。マスどうしが共有する辺をまわりの長さに加えたり、帯の切り方を、2つの部分それぞれについて書き出したりします。
声かけ
「両側から数えている辺や切り方はない？」
- ひっかけ
書き出しで場合が1つもれる
場合がもれてしまいます。たとえば、段差が逆向きの切り方、へこんだ角にあるふちの一部、横向きのドミノのほかにある、たて向きのドミノです。
声かけ
「まだ試していない方法はない？逆向きはどう？」
- ひっかけ
条件を1つ見落とす
条件を見落としてしまいます。ばらばらになった部分をひとまとまりの部分として数えたり、角でふれているだけのマスをとなりのマスとして数えたり、線がふれるだけのマスを通ったとしたりします。
声かけ
「この部分やこのマスは、本当に問題の条件に合っている？」
家庭でできること
方眼紙
方眼紙を手もとに置いて、4マスや5マスの図形を一緒にかいてみましょう。ふちがいちばん長いのはどれ？いちばん短いのはどれ？
ふちをたどる
指でふちを1辺ずつたどりながら、まわりの長さを数えます。それから、各マスの外側の辺を数え、両方の数が合うか確かめましょう。
切って数える
紙の帯を、同じ大きさの2つの部分に、見つけられるだけ多くの方法で切ってみましょう。もれも重なりもないように並べます。
先に学ぶテーマ
このテーマの問題を頼んでください
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