MathTrailगिनती और गणनाकक्षा 1–6
पाँच कबूतर उड़कर चार खानों में बैठते हैं: किसी न किसी खाने में दो कबूतर ज़रूर होंगे। इन सवालों में बच्चे को सिद्ध करना होता है कि किस्मत चाहे जितनी बुरी हो, कुछ होना ही है: अँधेरी दराज़ से एक ही रंग के दो मोज़े, एक ही महीने में दो जन्मदिन। यह अच्छी किस्मत की जगह सबसे बुरी स्थिति के बारे में सोचने का पहला परिचय है।
अगर कबूतर खानों से ज़्यादा हैं, तो किसी न किसी खाने में कम से कम दो होंगे। उन्हें जितना चाहें बराबर बाँटें: एक हमेशा बच जाता है।
“पक्का” का मतलब है: थैले से चाहे जो निकले। इसलिए मान लें कि सब कुछ जितना बुरा हो सकता है, उतना ही बुरा होता है, और देखें कि बुरी किस्मत कहाँ तक जा सकती है।
जब बुरी किस्मत खत्म हो जाती है, यानी हर रंग एक-एक बार निकल चुका है और हर खाना एक-एक बार भर चुका है, तब अगला ज़रूर वही देगा, जो चाहिए।
हर सवाल पूछता है कि पक्का क्या है। जवाब यह है कि बुरी किस्मत कहाँ तक जा सकती है, और फिर एक और।
| पक्का चाहिए | बुरी किस्मत पहले दे सकती है | इसलिए लें |
|---|---|---|
| हफ़्ते के एक ही दिन जन्मे दो लोग | 7 में से हर दिन जन्मा एक व्यक्ति | 7 + 1 = 8 लोग |
| 6 नीली और 4 लाल गेंदों में से एक लाल गेंद | सारी 6 नीली गेंदें | 6 + 1 = 7 गेंदें |
| 6 नीली और 4 लाल गेंदों में से दो लाल गेंदें | सारी 6 नीली गेंदें और एक लाल | 6 + 1 + 1 = 8 गेंदें |
खानों के नाम तय करें, जैसे रंग, महीने या हफ़्ते के दिन, और सबसे बुरी किस्मत को आखिर तक ले जाएँ: हर वह चीज़ निकालें, जिससे अभी वह नहीं मिलता, जो सवाल माँगता है। अगला ज़रूर देगा। नीचे दिए उदाहरण सबसे आसान से ओलंपियाड के स्तर तक जाते हैं।
उदाहरण 1 · कक्षा 1–2
एक जार में 8 नींबू वाली और 2 संतरे वाली टॉफ़ियाँ हैं। बिना देखे सुमन को कितनी टॉफ़ियाँ निकालनी होंगी, ताकि एक संतरे वाली टॉफ़ी पक्की हो जाए?
सुमन को संतरे वाली टॉफ़ी चाहिए। सबसे बुरी किस्मत यह है कि एक के बाद एक नींबू वाली निकले।
नींबू वाली टॉफ़ियाँ सिर्फ़ 8 हैं: इन 8 के बाद जार में सिर्फ़ संतरे वाली बचती हैं।
9वीं टॉफ़ी ज़रूर संतरे वाली होगी: 8 + 1 = 9।
जवाब 9 टॉफ़ियाँ।
उदाहरण 2 · कक्षा 3–4
एक दराज़ में 8 काले, 6 सफ़ेद और 2 धारीदार मोज़े आपस में मिले हुए रखे हैं। अँधेरे में गौरव को कितने मोज़े निकालने होंगे, ताकि दो काले मोज़े पक्के हो जाएँ?
सबसे बुरी किस्मत: पहले वे मोज़े निकलते हैं, जो काले नहीं हैं। सफ़ेद 6 हैं और धारीदार 2, यानी 8 मोज़े, जिनमें एक भी काला नहीं।
बुरी किस्मत अब भी आगे चल सकती है: अगला मोज़ा काला है, पर बस एक। यानी 9 मोज़े, और उनमें सिर्फ़ एक काला।
10वाँ मोज़ा भी ज़रूर काला होगा, क्योंकि अब सिर्फ़ काले मोज़े बचे हैं। तो 10 मोज़े।
जवाब 10 मोज़े।
उदाहरण 3 · कक्षा 5–6
2 × 2 के ग्रिड के हर घर में 1, 2 या 3 लिखा है। हर पंक्ति, हर स्तंभ और हर विकर्ण की दो संख्याओं का योग निकालो। क्या यह सच है कि इन छह योगों में से दो हमेशा बराबर होते हैं?
खाने गिनते हैं: 1, 2 और 3 में से दो संख्याओं का योग 2, 3, 4, 5 और 6 में से कोई एक होता है, कुल पाँच मान।
कबूतर गिनते हैं: 2 पंक्तियाँ, 2 स्तंभ और 2 विकर्ण 6 योग देते हैं।
छह योग और सिर्फ़ पाँच मान: ग्रिड में संख्याएँ चाहे जो हों, दो योग बराबर होने ही हैं।
जवाब हाँ, हमेशा।
MathTrail हर गलत जवाब को उस जाल से समझाता है जिसमें वह फँसा। इस विषय के सबसे आम जाल ये हैं, और हर एक के साथ बच्चे से कहने लायक एक बात।
किस्मत पर भरोसा कर लिया जाता है: “अगर पहले दो मोज़े काले निकलें, तो दो काफ़ी हैं।” पर सवाल में “पक्का” लिखा है, और यही शब्द किस्मत को बाहर कर देता है।
क्या कहें
“और अगर किस्मत बिलकुल साथ न दे तो?”
सवाल का एक शब्द छूट जाता है: “दो काले मोज़े” को “एक रंग के दो मोज़े” पढ़ लिया जाता है, या “हर रंग का एक” को “एक ही रंग”।
क्या कहें
“सवाल फिर से पढ़ो। ठीक-ठीक क्या पक्का होना चाहिए?”
सबसे बुरी किस्मत आखिर तक पहुँचते ही हल वहीं रुक जाता है, और वह एक और छूट जाता है, जिससे बात तय होती है; या फिर एक ज़्यादा जोड़ दिया जाता है।
क्या कहें
“सबसे बुरी किस्मत के बाद अगला क्या देगा?”
दो-तीन रंगों के मोज़े एक थैले में डालें और आँखें बंद करके निकालें: कितने मोज़ों के बाद जोड़ा पक्का होता है? कई बार आज़माएँ। किस्मत बदलती है, जवाब नहीं।
जब बच्चा कहे “ऐसा हो सकता है”, तो पूछें: “और क्या ऐसा नहीं भी हो सकता?” “हो सकता है” और “होना ही है” के बीच का अंतर ही पूरा विषय है।
रोज़ की गिनतियों में साथ मिलकर खाने ढूँढें: हफ़्ते के सात दिन, बारह महीने, चार मौसम। “हम 30 लोग हैं: क्या हममें से दो लोगों का जन्मदिन एक ही महीने में पड़ना पक्का है?”
“कबूतरखाना सिद्धांत” विषय पर एक सवाल दें