MathTrailأعداد فيها خدعةالصفوف 1–6
هل يمكن أن يقف 15 طفلًا في حلقة، ولد ثم بنت ثم ولد ثم بنت، على طول الدائرة كلها؟ في هذه المسائل يجيب الزوجي والفردي عن السؤال دون عدّ كل شيء أو تجربة كل الطرق: عند أي ضفة تكون العبّارة، وهل يمكن تحقيق مجموع ما من النقاط، ومن يلعب النقلة الأخيرة. والزوجية عند كثير من الأطفال أول شيء يصادفونه لا يتغير مهما جرت الحركات.
إذا كان عدد الأشياء زوجيًا، انقسمت إلى أزواج دون أن يبقى منها شيء. وإذا كان فرديًا، بقي دائمًا واحد بلا زوج.
زوجي زائد زوجي يعطي زوجيًا، وفردي زائد فردي يعطي زوجيًا، وزوجي زائد فردي يعطي فرديًا. لذلك لا تتوقف زوجية المجموع إلا على عدد الأعداد الفردية فيه.
عندما يتناوب شيئان، يقف أحدهما في الأماكن الفردية والآخر في الأماكن الزوجية. ولا يمكن التناوب على طول الحلقة كلها إلا إذا كان عدد أماكنها زوجيًا.
لمعرفة ما إذا كان المجموع زوجيًا، لا حاجة إلى حسابه. عدّوا الأعداد الفردية فيه.
| المجموع | الأعداد الفردية فيه | زوجية المجموع |
|---|---|---|
| 4 + 6 + 8 | لا يوجد | زوجي |
| 3 + 5 | 2 | زوجي |
| 3 + 5 + 7 | 3 | فردي |
| 1 + 2 + … + 10 | 5 | فردي |
ابحثوا في المسألة عن عدد يكون زوجيًا أو فرديًا: عدد أشياء، أو مجموع، أو مكان في صف. وانظروا ماذا تفعل به كل حركة أو كل خطوة، هل يتغير أم يبقى على حاله، ثم قارنوا البداية بالهدف. تتدرّج الأمثلة أدناه من الأبسط إلى مستوى الأولمبياد.
مثال 1 · الصفوف 1–2
تنقل عبّارة السيارات عبر نهر، ذهابًا وإيابًا، مرة بعد مرة. وهي تبدأ من الضفة اليسرى. عند أي ضفة تكون بعد أن تعبر النهر 7 مرات؟
بعد 1 عبور تكون العبّارة عند الضفة اليمنى، وبعد 2 تعود إلى اليسرى.
كل عبورين يعيدانها إلى حيث بدأت. لذلك تكون بعد عدد زوجي من مرات العبور عند الضفة اليسرى، وبعد عدد فردي عند اليمنى.
7 عدد فردي، إذن العبّارة عند الضفة اليمنى.
الإجابة عند الضفة اليمنى.
مثال 2 · الصفوف 3–4
يرمي باسم 4 أسهم على لوحة سهام قيم حلقاتها 1 و3 و5 و7 نقاط، وكل سهم يصيب اللوحة. ويقول باسم إنه سجّل 15 نقطة. هل يمكن أن يكون هذا صحيحًا؟
كل حلقة تساوي عددًا فرديًا من النقاط.
مجموع عددين فرديين عدد زوجي. و4 أسهم تشكّل زوجين، وكل زوج يسجّل عددًا زوجيًا، إذن مجموع نقاط 4 أسهم معًا عدد زوجي.
15 عدد فردي، إذن لا يمكن أن يكون باسم قد سجّله.
الإجابة لا.
مثال 3 · الصفوف 5–6
يقف عنكبوت عند أحد رؤوس مكعب مصنوع من السلك. وفي كل دقيقة يزحف على حرف واحد إلى رأس مجاور. هل يمكن أن يكون بعد 7 دقائق بالضبط عند الرأس الذي بدأ منه؟
نلوّن الرؤوس: رأس البداية بالأبيض، وجيرانه بالأسود، وجيران جيرانه بالأبيض، وهكذا. وكما يبيّن الرسم، كل حرف يصل بين رأس أسود ورأس أبيض.
إذن يتغير اللون كل دقيقة: بعد 1 دقيقة يكون العنكبوت على رأس أسود، وبعد 2 على أبيض، وبعد أي عدد فردي من الدقائق على أسود.
7 عدد فردي، ورأس البداية أبيض. فلا يمكن أن يعود العنكبوت إليه.
الإجابة لا.
يشرح MathTrail كل إجابة خاطئة بالفخ الذي وقعت فيه. وهذه أكثر الفخاخ شيوعًا في هذا الموضوع، ومع كل منها ما يمكن قوله لطفلكم.
يتبادل الزوجي والفردي مكانيهما: استنتاج أن العبّارة تعود بعد 7 مرات عبور إلى حيث بدأت، أو أن مجموع أربعة أعداد فردية عدد فردي.
ما يمكن قوله
«لنجرّب حالة صغيرة: أين العبّارة بعد 1 عبور، وبعد 2؟»
يضيع أحد شروط المسألة: الوصول إلى 15 نقطة بثلاثة أسهم ونسيان أن باسم رمى أربعة، أو اختيار عدد يوافق معلومة دون الأخرى.
ما يمكن قوله
«لنقرأ المسألة مرة أخرى. هل تتفق الإجابة مع كل كلمة فيها؟»
يُحسب المكان في الصف زائدًا أو ناقصًا بواحد: تُعدّ البداية أول عبور، أو يُعطى الصف الذي يبدأ بولد وينتهي بولد عددًا من الأولاد يساوي عدد البنات.
ما يمكن قوله
«لنكتب أول بضعة منها. أيها رقم 1؟»
أخفوا حفنة من الأزرار في قبضتكم، واتركوا التخمين لطفلكم: فردي أم زوجي؟ ثم تحققوا معًا بوضع الأزرار أزواجًا.
في أي لعبة يتناوب فيها لاعبان، اسألوا قبل نهايتها: من سيلعب النقلة العاشرة؟ والخامسة عشرة؟ فالإجابة تأتي من الزوجي والفردي، لا من مواصلة اللعب.
في أحد الشوارع، انظروا إلى أرقام البيوت: الزوجية على جانب، والفردية على الجانب الآخر. على أي جانب سيكون البيت رقم 37؟
أعطني مسألة في موضوع «الزوجية والتناوب»