Nombres piégésNiveaux 1–6

Parité et alternance

15 enfants peuvent-ils former une ronde en alternant garçon, fille, garçon, fille, sur tout le tour ? Dans ces problèmes, le pair et l’impair répondent à la question sans tout compter ni essayer tous les cas : sur quelle rive se trouve un bac, si un score est possible, qui joue le dernier coup. Pour beaucoup d’enfants, la parité est leur première rencontre avec quelque chose qui ne change pas, quels que soient les coups joués.

L’idée clé: Observer ce que chaque coup fait à la parité
Ce qu’on y apprend: À répondre à « est-ce possible ? » sans essayer tous les cas

Les règles du pair et de l’impair

Le pair se range par paires
Un nombre pair d’objets se range par paires, sans qu’il en reste. Un nombre impair en laisse toujours un sans paire.
Seuls les impairs comptent
Pair plus pair donne pair, impair plus impair donne pair, et pair plus impair donne impair. Ainsi, qu’une somme soit paire ou non dépend seulement de la quantité de nombres impairs qu’elle contient.
À tour de rôle
Quand deux choses alternent, l’une occupe les places impaires et l’autre les places paires. En cercle, l’alternance ne peut faire tout le tour que s’il y a un nombre pair de places.

Ne compter que les impairs

Pour savoir si une somme est paire, inutile de la calculer. Comptez combien elle contient de nombres impairs.

La somme	Ses nombres impairs	La somme est
4 + 6 + 8	aucun	paire
3 + 5	2	paire
3 + 5 + 7	3	impaire
1 + 2 + … + 10	5	impaire

Comment le résoudre : suivre le pair et l’impair

Trouvez dans le problème un nombre qui est pair ou impair : une quantité, une somme, une place dans une rangée. Regardez ce que chaque coup ou chaque étape lui fait, s’il change ou s’il reste le même, et comparez le départ avec l’objectif. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.

Trouver ce qui est pair ou impair
Voir ce que chaque étape lui fait
Comparer le départ avec l’objectif

Exemple 1 · Niveaux 1–2

Le bac

Un bac transporte des voitures d’une rive à l’autre d’une rivière, aller et retour, encore et encore. Il part de la rive gauche. Sur quelle rive est-il après avoir traversé la rivière 7 fois ?

Après 1 traversée, le bac est sur la rive droite, et après 2, de nouveau sur la rive gauche.
Toutes les deux traversées, il revient à son point de départ. Donc après un nombre pair de traversées, il est sur la rive gauche, et après un nombre impair, sur la rive droite.
7 est impair, donc le bac est sur la rive droite.

Réponse Sur la rive droite.

Exemple 2 · Niveaux 3–4

Quatre fléchettes

Basile lance 4 fléchettes sur une cible dont les anneaux valent 1, 3, 5 et 7 points, et chaque fléchette touche la cible. Basile dit qu’il a marqué 15 points. Cela peut-il être vrai ?

Chaque anneau vaut un nombre impair de points.
Deux nombres impairs font une somme paire. 4 fléchettes, ce sont deux paires, et chaque paire marque un nombre pair, donc les 4 fléchettes ensemble marquent un nombre pair.
15 est impair, donc Basile ne peut pas l’avoir marqué.

Réponse Non.

Exemple 3 · Niveaux 5–6

Une araignée sur un cube

Une araignée est posée sur un sommet d’un cube en fil de fer. Chaque minute, elle parcourt une arête jusqu’au sommet voisin. Peut-elle être de retour au sommet d’où elle est partie après exactement 7 minutes ?

On colorie les sommets : le départ en blanc, ses voisins en noir, leurs voisins en blanc, et ainsi de suite. Comme le montre le dessin, chaque arête relie un sommet noir et un sommet blanc.
Donc la couleur change chaque minute : après 1 minute, l’araignée est sur un sommet noir, après 2 sur un blanc, et après n’importe quel nombre impair de minutes sur un noir.
7 est impair, et le départ est blanc. L’araignée ne peut pas être de retour.

Réponse Non.

Où les enfants se trompent

MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.

Piège
Confusion entre pair et impair
Pair et impair sont intervertis : l’enfant conclut qu’après 7 traversées, le bac est revenu à son point de départ, ou que quatre nombres impairs font une somme impaire.
Que lui dire
« Essaie sur un petit cas : où est le bac après 1 traversée, après 2 ? »
Piège
Oubli d’une des conditions
Une condition du problème se perd : l’enfant trouve 15 points avec trois fléchettes et oublie que Basile en a lancé quatre, ou choisit un nombre qui convient à une donnée mais pas à l’autre.
Que lui dire
« Relis l’énoncé. Ta réponse respecte-t-elle chacun de ses mots ? »
Piège
Un de plus ou de moins en comptant les intervalles
Une place dans une rangée est comptée avec un de plus ou de moins : le départ est pris pour la première traversée, ou une rangée qui commence et finit par un garçon reçoit autant de garçons que de filles.
Que lui dire
« Écris les premiers. Lequel est le numéro 1 ? »

Comment aider à la maison

Pair ou impair ?
Cachez une poignée de boutons dans votre poing et laissez l’enfant deviner : pair ou impair ? Puis vérifiez ensemble en rangeant les boutons par paires.
Qui joue le 10e coup ?
Dans n’importe quel jeu à deux où l’on joue à tour de rôle, demandez avant la fin : qui jouera le 10e coup ? Et le 15e ? La réponse vient du pair et de l’impair, pas de la suite de la partie.
Les numéros des maisons
Dans une rue, regardez les numéros des maisons : pairs d’un côté, impairs de l’autre. De quel côté sera le numéro 37 ?

Parité et alternance

Les règles du pair et de l’impair

Le pair se range par paires

Seuls les impairs comptent

À tour de rôle

Ne compter que les impairs

Comment le résoudre : suivre le pair et l’impair

Le bac

Quatre fléchettes

Une araignée sur un cube

Où les enfants se trompent

Confusion entre pair et impair

Oubli d’une des conditions

Un de plus ou de moins en comptant les intervalles

Comment aider à la maison

Pair ou impair ?

Qui joue le 10e coup ?

Les numéros des maisons

Ouvre la voie à

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