मेज़ पर 20 तीलियाँ हैं, और खिलाड़ी बारी-बारी से उनमें से 1, 2 या 3 उठाते हैं। जो आखिरी तीली उठाए, जीत उसी की होती है, जैसे निम नाम के गणितीय खेल में। क्या पहला खिलाड़ी हमेशा जीत सकता है? इन सवालों में ऐसी योजना ढूँढनी होती है जो सामने वाले खिलाड़ी की किसी भी चाल पर जीत दिलाए, और वह खेल के अंत से पीछे की ओर चलकर मिलती है: यह देखकर कि किन स्थितियों में जिसकी चाल हो, उसकी हार होती है।
मुख्य विचार
अंत से पीछे की ओर चलना और हारने वाली स्थितियाँ ढूँढना
क्या सिखाता है
ऐसी योजना ढूँढना जो सामने वाले खिलाड़ी की किसी भी चाल पर जीत दिलाए
1, 2 या 3 तीलियाँ उठाते हैं; आखिरी तीली जो उठाए, जीत उसकी
जिसकी चाल हो, उसकी हारजीत
खेलों के नियम
0 से, यानी खेल के अंत से, बड़ी संख्याओं की ओर
अंत से
खेल के अंत से शुरू करें, जहाँ जीत-हार साफ़ है, और पीछे की ओर चलें: कोई स्थिति हारने वाली है, अगर उससे हर चाल ऐसी स्थिति तक ले जाए जो सामने वाले खिलाड़ी के लिए जीतने वाली हो।
62 उठाना→4सामने वाले के लिए हारने वाली
हारने वाली स्थिति सौंपना
जीतने वाली चाल सामने वाले खिलाड़ी के लिए हारने वाली स्थिति छोड़ती है। अगर ऐसी कोई चाल न हो, तो स्थिति हारने वाली है, खिलाड़ी में कितनी भी होशियारी हो।
सामने वाला1+जवाब3= 4सामने वाला2+जवाब2= 4सामने वाला3+जवाब1= 4
चाल की नकल, आईने की तरह
कई खेलों में जीत बराबरी बनाए रखने से मिलती है: हर चाल का ऐसा जवाब देकर कि दोनों चालों का योग हर बार उतना ही रहे, या आईने की तरह दूसरी तरफ़ वही चाल चलकर।
हारने वाली स्थितियाँ
1, 2 या 3 तीलियाँ उठाने वाले खेल में, जहाँ आखिरी तीली जिताती है, जिसकी चाल हो उसके लिए हारने वाली स्थितियाँ हर 4 पर आती हैं।
बची हुई तीलियाँ
सबसे अच्छी चाल
क्यों
1, 2 या 3
0123सब उठा लेना
आखिरी तीली जिताती है
4
01234कोई चाल नहीं जिताती
किसी भी चाल के बाद बाकी तीलियाँ सामने वाले खिलाड़ी के हाथ लगती हैं
5, 6 या 7
45671, 2 या 3 उठाकर 4 छोड़ना
सामने वाले खिलाड़ी को हारने वाली 4 मिलती हैं
8
45678कोई चाल नहीं जिताती
हर चाल 5, 6 या 7 छोड़ती है
हल कैसे करें: खेल के अंत से
स्थितियाँ सबसे छोटी से शुरू करके लिखें। अगर किसी स्थिति से हर चाल जीतने वाली स्थिति तक ले जाए, तो उसे हारने वाली लिखें, और अगर कोई एक चाल हारने वाली स्थिति तक ले जाए, तो जीतने वाली। शुरुआत से जीतने वाली चाल वह है जो हारने वाली स्थिति छोड़े। नीचे दिए उदाहरण सबसे आसान से ओलंपियाड के स्तर तक जाते हैं।
1खेल के अंत वाली स्थितियों से शुरू करना
2सबसे छोटी से शुरू करके हर स्थिति को जीतने वाली या हारने वाली लिखना
3वह चाल ढूँढना जो सामने वाले खिलाड़ी के लिए हारने वाली स्थिति छोड़े
जिसकी चाल हो, उसकी हारजीत
उदाहरण 1 · कक्षा 5–6
कटोरे में टॉफ़ियाँ
एक कटोरे में 23 टॉफ़ियाँ हैं। किरण और यश बारी-बारी से चाल चलते हैं, और पहली चाल किरण चलती है। हर चाल में 1, 2, 3 या 4 टॉफ़ियाँ उठाई जाती हैं। जो आखिरी टॉफ़ी उठाए, जीत उसी की। पक्की जीत के लिए किरण को पहली चाल में कितनी टॉफ़ियाँ उठानी होंगी?
23 टॉफ़ियाँ, एक चाल में 1 से 4
1अंत से: अगर 1 से 4 टॉफ़ियाँ बची हों, तो सारी एक ही चाल में उठ जाती हैं, और जीत उसी की होती है जिसकी चाल हो। अगर 5 बची हों, तो हर चाल सामने वाले खिलाड़ी के लिए 1 से 4 छोड़ती है, इसलिए 5 हारने वाली स्थिति है।
2इसी तरह 10, 15 और 20 भी हारने वाली हैं: इनमें से कुछ भी उठाया जाए, सामने वाला खिलाड़ी कटोरे में 5 का अगला गुणज छोड़ सकता है।
01234567891011121314151617181920212223
3इसलिए किरण 3 उठाती है और 20 छोड़ती है। यश जितनी भी उठाए, किरण बाकी उठाकर योग 5 पूरा करती है: कटोरे में 15, 10, 5 बचती हैं, और आखिर में कुछ नहीं बचता।
23किरण −3→2020151050यश x उठाए, तो किरण 5 − x
जवाब33 टॉफ़ियाँ।
उदाहरण 2 · कक्षा 5–6
राजा की सैर
5 × 5 के बोर्ड के नीचे वाले बाएँ कोने में एक राजा खड़ा है। दो खिलाड़ी बारी-बारी से उसे एक खाना ऊपर, एक खाना दाएँ, या एक खाना तिरछे ऊपर-दाएँ चलाते हैं। जो राजा को ऊपर वाले दाएँ कोने में पहुँचाए, जीत उसी की। अगर दोनों सबसे अच्छा खेलें, तो जीत किसकी होगी?
Kचालें: ऊपर, दाएँ, तिरछे ऊपर-दाएँ
1गिनते हैं कि राजा को अभी कितनी पंक्तियाँ और कितने स्तंभ चलने बाकी हैं। जो खाना कोने से एक चाल दूर हो, वहाँ से जिसकी चाल हो, उसकी तुरंत जीत होती है।
हरे, एक चाल में जीत
2जिसकी चाल हो, उसके लिए कोई खाना तब हारने वाला है जब दोनों संख्याएँ सम हों: हर चाल उनमें से एक को विषम बना देती है, और सामने वाला खिलाड़ी दोनों को फिर से सम बना सकता है।
लाल बिंदु, जिसकी चाल हो उसकी हार
3शुरू में राजा कोने से 4 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ दूर है, दोनों सम, इसलिए पहला खिलाड़ी हारता है। दूसरा हर बार राजा को सम खाने पर ले जाकर जवाब देता है और कोने तक पहुँच जाता है।
Kराजा हारने वाले खाने से शुरू करता है
जवाबदूसरादूसरा खिलाड़ी।
उदाहरण 3 · कक्षा 5–6
डेज़ी का फूल
डेज़ी के एक फूल में घेरे में 12 पंखुड़ियाँ हैं। दो खिलाड़ी बारी-बारी से या तो एक पंखुड़ी तोड़ते हैं, या साथ-साथ उगी दो पंखुड़ियाँ, जिनके बीच कोई खाली जगह न हो। जो आखिरी पंखुड़ी तोड़े, जीत उसी की। अगर दोनों सबसे अच्छा खेलें, तो जीत किसकी होगी?
1पहला खिलाड़ी चाहे एक पंखुड़ी तोड़े या दो, घेरा खुलकर 11 या 10 पंखुड़ियों की पंक्ति बन जाता है।
पहले ने एक तोड़ी, 11 की पंक्ति बची
2दूसरा खिलाड़ी उस पंक्ति के ठीक बीच से तोड़ता है: 11 की पंक्ति से एक पंखुड़ी, या 10 की पंक्ति से दो। आमने-सामने दो बराबर पंक्तियाँ बचती हैं।
5 पंखुड़ियों वाली दो पंक्तियाँ
3उसके बाद दूसरा खिलाड़ी पहले खिलाड़ी की हर चाल की नकल सामने वाली पंक्ति में करता है। जब तक पहले खिलाड़ी के पास कोई चाल है, दूसरे के पास भी है, इसलिए आखिरी पंखुड़ी दूसरा तोड़ता है।
पहले ने नीली पंक्ति में तोड़ा, दूसरे ने नारंगी में नकल की
जवाबदूसरादूसरा खिलाड़ी।
बच्चे कहाँ गलती करते हैं
MathTrail हर गलत जवाब को उस जाल से समझाता है जिसमें वह फँसा। इस विषय के सबसे आम जाल ये हैं, और हर एक के साथ बच्चे से कहने लायक एक बात।
जाल
एक शर्त छूट गई
खेल का कोई नियम छूट जाता है: एक चाल में 5 टॉफ़ियाँ उठा ली जाती हैं, जबकि ज़्यादा से ज़्यादा 4 की अनुमति है, या राजा बाईं ओर चल देता है, जो नियमों में मना है। जिस चाल की अनुमति ही नहीं, उस पर बनी योजना से कोई जीत नहीं मिलती।
एक चाल में 1 से 4 टॉफ़ियाँबच्चा235 उठाना→18सही233 उठाना→20
क्या कहें
“नियम कौन-सी चालों की अनुमति देते हैं?”
जाल
मान लिया गया कि पहली चाल हमेशा जीतती है
पहले चलने को ही जीत मान लिया जाता है: “किरण शुरू करती है, इसलिए किरण जीतेगी।” कई खेलों में, जैसे राजा की सैर में, पहले खिलाड़ी की हार तय होती है, वह कुछ भी करे।
राजा की सैरबच्चापहला जीतता हैसहीKदूसरा
क्या कहें
“और अगर सामने वाला खिलाड़ी कोई गलती न करे तो?”
जाल
सबसे बुरी स्थिति की जगह किस्मत पर भरोसा
योजना तभी काम करती है जब सामने वाले खिलाड़ी से चूक हो: किरण 4 उठाती है और उम्मीद करती है कि यश उसके बाद बहुत कम उठाए। जीतने की रणनीति को सामने वाले खिलाड़ी की सबसे अच्छी चाल का जवाब देना होता है।
23 से किरण की पहली चालबच्चा−4→19यश −4→15सही−3→20
क्या कहें
“इस पर सामने वाले खिलाड़ी का सबसे अच्छा जवाब क्या है?”
घर पर कैसे मदद करें
01
तीलियों का खेल खेलें
15 तीलियों में से 1, 2 या 3 उठाने वाला खेल खेलें, और बच्चे को पहले चलने दें। कुछ बार जीतें, फिर पूछें कि 4 के गुणज बार-बार क्यों लौट आते हैं।
02
चाल की नकल करें
सममित बोर्ड वाले किसी भी खेल में सामने वाले खिलाड़ी की चाल की नकल उलटी तरफ़ करके देखें। पूछें कि नकल कब काम करती है और कब टूट जाती है।
03
पाला बदलें
जब बच्चे को जीतने वाली योजना मिल जाए, तो पाला बदलें: अब बच्चा दूसरे नंबर पर चले। यह समझाना कि वहाँ से योजना क्यों हारती है, इस विषय का ज़्यादा गहरा आधा हिस्सा है।
