Há 20 palitos de fósforo na mesa, e os jogadores, alternadamente, tiram 1, 2 ou 3 deles. Quem tirar o último palito ganha, como no jogo do Nim. O primeiro jogador pode ganhar sempre? Nestes problemas, a criança procura um plano que ganhe faça o que fizer o outro jogador, e o encontra começando pelo fim do jogo e descobrindo quais posições perdem para quem precisa jogar a partir delas.
A ideia-chave
Começar pelo fim e achar as posições perdedoras
O que ensina
A encontrar um plano que ganhe faça o que fizer o outro jogador
Cada um tira 1, 2 ou 3 palitos; ganha quem tirar o último
perde quem tem a vezganha
As regras dos jogos
do 0, o fim do jogo, para os números maiores
A partir do fim
Comece pelo fim do jogo, onde está claro quem ganha, e volte: uma posição perde quando toda jogada a partir dela leva a uma que ganha para o outro jogador.
6tirar 2→4uma perdedora para o outro
Entregar uma posição perdedora
Uma jogada vencedora deixa para o outro jogador uma posição perdedora. Se não existe uma jogada assim, a posição perde, por mais habilidade que se tenha.
o outro tira1+você tira3= 4o outro tira2+você tira2= 4o outro tira3+você tira1= 4
Copiar e espelhar
Em muitos jogos, quem ganha mantém tudo equilibrado: responde a cada jogada de modo que as duas jogadas somem o mesmo, ou faz a mesma jogada no lado espelhado.
Posições perdedoras
No jogo de tirar 1, 2 ou 3 palitos, em que ganha quem tira o último, as posições que perdem para quem tem a vez se repetem a cada 4.
Palitos que sobram
A melhor jogada
Por quê
1, 2 ou 3
0123tirar todos
quem tira o último palito ganha
4
01234nenhuma ganha
depois de qualquer jogada, o outro jogador tira o resto
5, 6 ou 7
4567tirar 1, 2 ou 3 e deixar 4
o outro jogador recebe 4, uma posição perdedora
8
45678nenhuma ganha
toda jogada deixa 5, 6 ou 7
Como resolver: a partir do fim do jogo
Escreva as posições da menor para a maior. Marque uma posição como perdedora quando toda jogada a partir dela leva a uma vencedora, e como vencedora quando alguma jogada leva a uma perdedora. A jogada vencedora do início é a que deixa uma posição perdedora. Os exemplos abaixo vão do mais simples a um de olimpíada.
1Começar pelas posições do fim
2Marcar cada uma como vencedora ou perdedora, da menor para a maior
3Achar a jogada que deixa para o outro jogador uma perdedora
perde quem tem a vezganha
Exemplo 1 · Anos 5–6
Balas na tigela
Há 23 balas em uma tigela. Kauã e Léo jogam alternadamente, e Kauã começa. Na sua vez, cada um tira 1, 2, 3 ou 4 balas. Quem tirar a última bala ganha. Quantas balas Kauã deve tirar na primeira jogada para ter certeza de ganhar?
23 balas, de 1 a 4 por jogada
1Começando pelo fim: se sobram de 1 a 4 balas, quem tem a vez tira todas e ganha. Se sobram 5, toda jogada deixa de 1 a 4 para o outro jogador, então 5 perde.
2Do mesmo jeito, 10, 15 e 20 perdem: não importa quanto se tire, o outro jogador pode deixar na tigela o próximo múltiplo de 5.
01234567891011121314151617181920212223
3Então Kauã tira 3 e deixa 20. Não importa quanto Léo tire, Kauã tira o que falta para completar 5, deixando 15, 10, 5 e, por fim, nada.
23Kauã −3→2020151050Léo tira x, Kauã tira 5 − x
Resposta33 balas.
Exemplo 2 · Anos 5–6
O passeio do rei
Um rei está no canto inferior esquerdo de um tabuleiro de 5 por 5. Dois jogadores, alternadamente, movem o rei uma casa para cima, uma casa para a direita ou uma casa na diagonal, para cima e para a direita. Quem levar o rei ao canto superior direito ganha. Quem ganha se os dois jogarem da melhor maneira possível?
Kjogadas: para cima, à direita, na diagonal para cima e à direita
1Conte quantas linhas e quantas colunas o rei ainda tem que percorrer. De uma casa que fica a uma jogada do canto, quem tem a vez ganha na hora.
verde, vitória em uma jogada
2Uma casa perde para quem tem a vez quando os dois números são pares: toda jogada torna um deles ímpar, e o outro jogador pode deixar os dois pares de novo.
pontos vermelhos, derrota para quem tem a vez
3O rei começa a 4 linhas e 4 colunas do canto, dois números pares, então o primeiro jogador perde. O segundo responde sempre com uma jogada para uma casa par e chega ao canto.
Ko rei começa em uma casa perdedora
Resposta2ºO segundo jogador.
Exemplo 3 · Anos 5–6
A margarida
Uma margarida tem 12 pétalas em círculo. Dois jogadores, alternadamente, arrancam uma pétala ou duas pétalas que nascem uma ao lado da outra, sem espaço entre elas. Quem arrancar a última pétala ganha. Quem ganha se os dois jogarem da melhor maneira possível?
1Não importa se o primeiro jogador arranca uma pétala ou duas: o círculo se abre e vira uma fileira de 11 ou de 10 pétalas.
o primeiro arrancou uma e sobrou uma fileira de 11
2O segundo jogador arranca bem do meio dessa fileira: uma pétala de uma fileira de 11 ou duas de uma fileira de 10. Sobram duas fileiras iguais, em lados opostos.
duas fileiras de 5 pétalas
3A partir daí, o segundo jogador copia cada jogada na outra fileira. Sempre que o primeiro pode jogar, o segundo também pode, então é o segundo que arranca a última pétala.
o primeiro arrancou na fileira azul, o segundo copiou na laranja
Resposta2ºO segundo jogador.
Onde as crianças erram
O MathTrail explica cada resposta errada pela armadilha em que ela caiu. Estas são as mais comuns neste tema, com algo que você pode dizer à criança.
Armadilha
Condição esquecida
Uma regra do jogo é esquecida: uma jogada tira 5 balas quando o máximo permitido é 4, ou o rei anda para a esquerda, o que as regras proíbem. Um plano construído sobre uma jogada proibida não ganha nada.
De 1 a 4 balas por jogadaCriança23tirar 5→18Certo23tirar 3→20
O que dizer
“Que jogadas as regras permitem?”
Armadilha
Supor que a primeira jogada sempre vence
Acha-se que começar já basta para ganhar: “Kauã começa, então Kauã ganha.” Em muitos jogos, como o passeio do rei, o primeiro jogador perde, faça o que fizer.
O passeio do reiCriançao primeiro ganhaCertoKo segundo
O que dizer
“E se o outro jogador não errar?”
Armadilha
Contar com a sorte em vez do pior caso
O plano só funciona se o outro jogador errar: Kauã tira 4 e torce para que Léo depois tire balas de menos. Uma estratégia vencedora tem que responder à melhor jogada do outro jogador.
Primeira jogada de Kauã a partir de 23Criança−4→19Léo −4→15Certo−3→20
O que dizer
“Qual é a melhor resposta do outro jogador a isso?”
Como ajudar em casa
01
Jogue o jogo dos palitos
Jogue com a criança o jogo de tirar 1, 2 ou 3 palitos de um monte de 15 e deixe que ela comece. Ganhe algumas vezes e depois pergunte por que os múltiplos de 4 sempre voltam.
02
Copie a jogada
Em qualquer jogo em um tabuleiro simétrico, experimente copiar a jogada do outro jogador no lado oposto. Pergunte quando a cópia funciona e quando ela falha.
03
Inverta os papéis
Quando a criança achar um plano vencedor, inverta os papéis com ela: agora ela joga em segundo lugar. Explicar por que o plano perde a partir daí é a metade mais profunda do tema.
