Hay 20 cerillas en la mesa, y los jugadores toman por turnos 1, 2 o 3. Gana quien toma la última cerilla, como en el juego del Nim. ¿Puede el primer jugador ganar siempre? En estos problemas, quien resuelve busca un plan que gane haga lo que haga el otro jugador, y lo encuentra yendo hacia atrás desde el final de la partida y averiguando qué posiciones son perdedoras para quien tiene el turno en ellas.
La idea clave
Ir hacia atrás desde el final y hallar las posiciones perdedoras
Qué enseña
A encontrar un plan que gane haga lo que haga el otro jugador
Se toman 1, 2 o 3 cerillas; gana quien toma la última
pierde quien tiene el turnogana
Las reglas de los juegos
desde 0, el final de la partida, hacia números mayores
Desde el final
Empiece por el final de la partida, donde está claro quién gana, y vaya hacia atrás: una posición es perdedora cuando todas las jugadas desde ella llevan a una posición ganadora para el otro jugador.
6tomar 2→4perdedora para el otro
Dejar al otro una posición perdedora
Una jugada ganadora deja al otro jugador una posición perdedora. Si no hay ninguna jugada así, la posición es perdedora, por muy hábil que sea quien tiene el turno.
el rival1+la respuesta3= 4el rival2+la respuesta2= 4el rival3+la respuesta1= 4
Copiar y reflejar
En muchos juegos, quien gana mantiene el equilibrio: responde a cada jugada de modo que las dos jugadas sumen lo mismo, o hace la misma jugada en el lado simétrico.
Posiciones perdedoras
En el juego de tomar 1, 2 o 3 cerillas, en el que gana quien toma la última, las posiciones que pierden para quien tiene el turno se repiten cada 4.
Cerillas que quedan
La mejor jugada
Por qué
1, 2 o 3
0123tomarlas todas
gana quien toma la última
4
01234ninguna gana
tras cualquier jugada, el otro jugador toma el resto
5, 6 o 7
4567tomar 1, 2 o 3 para dejar 4
el otro jugador recibe 4, una posición perdedora
8
45678ninguna gana
toda jugada deja 5, 6 o 7
Cómo resolverlo: desde el final de la partida
Escriba las posiciones de la más pequeña a la más grande. Marque una posición como perdedora cuando todas las jugadas desde ella llevan a una ganadora, y como ganadora cuando alguna jugada lleva a una perdedora. La jugada ganadora desde el principio es la que deja una posición perdedora. Los ejemplos de abajo van del más sencillo a uno de olimpiada.
1Empezar por las posiciones del final
2Marcar cada una como ganadora o perdedora, de la más pequeña en adelante
3Hallar la jugada que deja al otro jugador una perdedora
pierde quien tiene el turnogana
Ejemplo 1 · 5–6 de primaria
Caramelos en un cuenco
Hay 23 caramelos en un cuenco. Sara y Leo juegan por turnos, y empieza Sara. En cada turno se toman 1, 2, 3 o 4 caramelos. Gana quien toma el último caramelo. ¿Cuántos caramelos debe tomar Sara en su primera jugada para asegurarse de ganar?
23 caramelos, de 1 a 4 por jugada
1Desde el final: si quedan de 1 a 4 caramelos, quien tiene el turno los toma todos y gana. Si quedan 5, cualquier jugada deja de 1 a 4 al otro jugador, así que 5 pierde.
2Del mismo modo pierden 10, 15 y 20: se tome lo que se tome, el otro jugador puede dejar en el cuenco el siguiente múltiplo de 5.
01234567891011121314151617181920212223
3Así que Sara toma 3 y deja 20. Tome lo que tome Leo, Sara toma lo que falta hasta 5 y deja 15, 10, 5 y, al final, nada.
23Sara −3→2020151050Leo toma x, Sara toma 5 − x
Respuesta33 caramelos.
Ejemplo 2 · 5–6 de primaria
El paseo del rey
Un rey está en la esquina inferior izquierda de un tablero de 5 por 5. Dos jugadores, por turnos, lo mueven una casilla hacia arriba, una casilla a la derecha o una casilla en diagonal hacia arriba y a la derecha. Gana quien lleva el rey a la esquina superior derecha. ¿Quién gana si los dos juegan lo mejor posible?
Kjugadas: arriba, derecha, en diagonal arriba y a la derecha
1Contamos cuántas filas y cuántas columnas le quedan al rey por recorrer. Desde una casilla que está a una jugada de la esquina, quien tiene el turno gana enseguida.
verde, victoria en una jugada
2Una casilla es perdedora para quien tiene el turno cuando los dos números son pares: cualquier jugada vuelve impar alguno de ellos, y el otro jugador puede volver a dejar los dos pares.
puntos rojos, derrota para quien tiene el turno
3El rey empieza a 4 filas y 4 columnas de la esquina, dos números pares, así que el primer jugador pierde. El segundo responde siempre con una jugada a una casilla par y llega a la esquina.
Kel rey empieza en una casilla perdedora
Respuesta2.ºEl segundo jugador.
Ejemplo 3 · 5–6 de primaria
La margarita
Una margarita tiene 12 pétalos en círculo. Dos jugadores, por turnos, arrancan o bien un pétalo, o bien dos pétalos que crecen uno al lado del otro, sin hueco entre ellos. Gana quien arranca el último pétalo. ¿Quién gana si los dos juegan lo mejor posible?
1Arranque lo que arranque el primer jugador, un pétalo o dos, el círculo se abre y queda una fila de 11 o de 10 pétalos.
el primero arrancó uno y quedó una fila de 11
2El segundo jugador arranca del centro mismo de esa fila: un pétalo si la fila es de 11, o dos si es de 10. Quedan dos filas iguales, en lados opuestos.
dos filas de 5 pétalos
3A partir de ahí, el segundo jugador copia cada jugada en la otra fila. Siempre que el primero puede jugar, el segundo también, así que el segundo arranca el último pétalo.
el primero arrancó en la fila azul y el segundo lo copió en la naranja
Respuesta2.ºEl segundo jugador.
Dónde suelen equivocarse
MathTrail explica cada respuesta incorrecta por la trampa en la que cayó. Estas son las más frecuentes en este tema, con algo que puede decirle a su hijo o hija.
Trampa
Condición olvidada
Se pierde de vista una regla del juego: una jugada toma 5 caramelos cuando se permiten como mucho 4, o el rey se mueve a la izquierda, cosa que las reglas prohíben. Un plan basado en una jugada no permitida no gana nada.
De 1 a 4 caramelos por jugadaNiño/a23tomar 5→18Correcto23tomar 3→20
Qué decirle
«¿Qué jugadas permiten las reglas?»
Trampa
Dar por hecho que la primera jugada siempre gana
Se da por hecho que empezar basta para ganar: «Empieza Sara, así que gana Sara». En muchos juegos, como el paseo del rey, el primer jugador pierde haga lo que haga.
El paseo del reyNiño/agana el primeroCorrectoKel segundo
Qué decirle
«¿Y si el otro jugador no se equivoca?»
Trampa
Contar con la suerte en vez del peor caso
El plan solo funciona si el otro jugador se equivoca: Sara toma 4 y espera que luego Leo tome menos de los que debe. Una estrategia ganadora tiene que responder a la mejor jugada del otro jugador.
Primera jugada de Sara desde 23Niño/a−4→19Leo −4→15Correcto−3→20
Qué decirle
«¿Cuál es la mejor respuesta del otro jugador a eso?»
Cómo ayudar en casa
01
Juegue a las cerillas
Juegue con el niño o la niña a tomar 1, 2 o 3 cerillas de un montón de 15, y déjele empezar. Gane unas cuantas veces y luego pregunte por qué vuelven una y otra vez los múltiplos de 4.
02
Copie la jugada
En cualquier juego con un tablero simétrico, pruebe a copiar la jugada del otro jugador en el lado opuesto. Pregunte cuándo funciona la copia y cuándo falla.
03
Cambien los papeles
Cuando el niño o la niña encuentre un plan ganador, cambien los papeles: ahora empieza usted. Explicar por qué desde ahí el plan pierde es la mitad más profunda del tema.
