Il y a 20 allumettes sur la table, et les joueurs en prennent 1, 2 ou 3 à tour de rôle. Qui prend la dernière allumette gagne, comme au jeu de Nim. Le premier joueur peut-il toujours gagner ? Dans ces problèmes, l’enfant cherche un plan qui gagne quoi que fasse l’autre joueur, et le trouve en partant de la fin de la partie, pour savoir quelles positions sont perdantes pour le joueur dont c’est le tour.
L’idée clé
Partir de la fin et trouver les positions perdantes
Ce qu’on y apprend
À trouver un plan qui gagne quoi que fasse l’autre joueur
On prend 1, 2 ou 3 allumettes ; qui prend la dernière gagne
perdante pour qui doit jouergagnante
Les règles des jeux
de 0, la fin de la partie, vers les nombres plus grands
En partant de la fin
Partez de la fin de la partie, où l’on sait qui gagne, et remontez : une position est perdante quand chaque coup qui en part mène à une position gagnante pour l’autre joueur.
6prendre 2→4perdante pour l’autre
Laisser à l’autre une position perdante
Un coup gagnant laisse à l’autre joueur une position perdante. S’il n’existe aucun coup de ce genre, la position est perdante, aussi habile que soit le joueur.
Dans beaucoup de jeux, on gagne en gardant l’équilibre : on répond à chaque coup de sorte que les deux coups fassent ensemble le même total, ou on joue le même coup du côté symétrique.
Les positions perdantes
Dans le jeu où l’on prend 1, 2 ou 3 allumettes et où la dernière allumette gagne, les positions perdantes pour le joueur dont c’est le tour reviennent toutes les 4 allumettes.
Allumettes restantes
Le meilleur coup
Pourquoi
1, 2 ou 3
0123tout prendre
la dernière allumette gagne
4
01234aucun ne gagne
après n’importe quel coup, l’autre joueur prend le reste
5, 6 ou 7
4567prendre 1, 2 ou 3 pour en laisser 4
l’autre joueur reçoit un 4 perdant
8
45678aucun ne gagne
chaque coup laisse 5, 6 ou 7
Comment le résoudre : en partant de la fin de la partie
Écrivez les positions de la plus petite à la plus grande. Marquez une position comme perdante quand chaque coup qui en part mène à une position gagnante, et comme gagnante quand au moins un coup mène à une position perdante. Le coup gagnant au départ est celui qui laisse une position perdante. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.
1Partir des positions de la fin
2Marquer chacune comme gagnante ou perdante, de la plus petite à la plus grande
3Trouver le coup qui laisse une position perdante à l’autre joueur
perdante pour qui doit jouergagnante
Exemple 1 · Niveaux 5–6
Des bonbons dans un bol
Il y a 23 bonbons dans un bol. Zoé et Léo jouent à tour de rôle, et Zoé commence. À chaque coup, on prend 1, 2, 3 ou 4 bonbons. Qui prend le dernier bonbon gagne. Combien de bonbons Zoé doit-elle prendre au premier coup pour gagner à coup sûr ?
23 bonbons, de 1 à 4 par coup
1On part de la fin : s’il reste de 1 à 4 bonbons, le joueur dont c’est le tour les prend tous et gagne. S’il en reste 5, chaque coup en laisse de 1 à 4 à l’autre joueur : 5 est donc une position perdante.
2De la même façon, 10, 15 et 20 sont des positions perdantes : quoi qu’on en prenne, l’autre joueur peut ramener le bol au multiple de 5 juste en dessous.
01234567891011121314151617181920212223
3Zoé prend donc 3 bonbons et en laisse 20. Quoi que prenne Léo, Zoé complète jusqu’à 5 et laisse 15, puis 10, puis 5, et enfin plus rien.
23Zoé −3→2020151050Léo prend x, Zoé prend 5 − x
Réponse33 bonbons.
Exemple 2 · Niveaux 5–6
La promenade du roi
Un roi est posé dans le coin inférieur gauche d’un damier de 5 cases sur 5. Deux joueurs le déplacent à tour de rôle d’une case vers le haut, d’une case vers la droite ou d’une case en diagonale, vers le haut et à droite. Qui amène le roi dans le coin supérieur droit gagne. Qui gagne si les deux joueurs jouent au mieux ?
Kcoups : en haut, à droite, en diagonale en haut à droite
1On compte combien de lignes et combien de colonnes il reste au roi à parcourir. D’une case située à un coup du coin, le joueur dont c’est le tour gagne aussitôt.
en vert, victoire en un coup
2Une case est perdante pour le joueur dont c’est le tour quand les deux nombres sont pairs : chaque coup rend l’un d’eux impair, et l’autre joueur peut de nouveau les rendre pairs tous les deux.
points rouges, défaite pour qui doit jouer
3Le roi part à 4 lignes et 4 colonnes du coin, deux nombres pairs : le premier joueur perd donc. Le second répond chaque fois par un coup vers une case paire, et atteint le coin.
Kle roi part d’une case perdante
Réponse2eLe second joueur.
Exemple 3 · Niveaux 5–6
La marguerite
Une marguerite a 12 pétales disposés en cercle. Deux joueurs arrachent à tour de rôle soit un pétale, soit deux pétales qui poussent côte à côte, sans espace entre eux. Qui arrache le dernier pétale gagne. Qui gagne si les deux joueurs jouent au mieux ?
1Quoi que le premier joueur arrache, un pétale ou deux, le cercle s’ouvre et devient une rangée de 11 ou de 10 pétales.
le premier en a arraché un, laissant une rangée de 11
2Le second joueur arrache au beau milieu de cette rangée : un pétale dans une rangée de 11, ou deux dans une rangée de 10. Il reste deux rangées égales, face à face.
deux rangées de 5 pétales
3Ensuite, le second joueur reproduit chaque coup du premier dans l’autre rangée. Chaque fois que le premier peut jouer, le second le peut aussi : c’est donc le second qui arrache le dernier pétale.
le premier a arraché dans la rangée bleue, le second a copié dans l’orange
Réponse2eLe second joueur.
Où les enfants se trompent
MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.
Piège
Oubli d’une des conditions
Une règle du jeu est oubliée : un coup prend 5 bonbons alors que 4 au plus sont permis, ou le roi va vers la gauche, ce que les règles interdisent. Un plan bâti sur un coup interdit ne gagne rien.
De 1 à 4 bonbons par coupEnfant23prendre 5→18Juste23prendre 3→20
Que lui dire
« Quels coups les règles permettent-elles ? »
Piège
Croire que le premier coup gagne toujours
Jouer en premier passe pour une victoire assurée : « Zoé commence, donc Zoé gagne. » Dans beaucoup de jeux, comme la promenade du roi, le premier joueur perd quoi qu’il fasse.
La promenade du roiEnfantle premier gagneJusteKle second
Que lui dire
« Et si l’autre joueur ne fait aucune erreur ? »
Piège
Compter sur la chance plutôt que sur le pire des cas
Le plan ne marche que si l’autre joueur se trompe : Zoé prend 4 bonbons et espère que Léo en prendra ensuite trop peu. Une stratégie gagnante doit répondre au meilleur coup de l’autre joueur.
Premier coup de Zoé depuis 23Enfant−4→19Léo −4→15Juste−3→20
Que lui dire
« Quelle est la meilleure réponse de l’autre joueur à ce coup ? »
Comment aider à la maison
01
Jouez au jeu des allumettes
Jouez à prendre 1, 2 ou 3 allumettes dans un tas de 15, et laissez l’enfant commencer. Gagnez quelques parties, puis demandez pourquoi les multiples de 4 reviennent sans cesse.
02
Copiez le coup
Dans n’importe quel jeu sur un plateau symétrique, essayez de copier le coup de l’autre joueur du côté opposé. Demandez quand la copie marche, et quand elle échoue.
03
Inversez les rôles
Quand l’enfant trouve un plan gagnant, inversez les rôles : c’est maintenant l’enfant qui joue en second. Expliquer pourquoi, à partir de là, le plan perd, c’est la moitié la plus profonde du thème.
