MathTrail作戦とゲーム5–6年生
テーブルにマッチ棒が20本あります。先手と後手が交互に、1本、2本、3本のどれかを取っていき、石取りゲームのように、最後のマッチ棒を取った人の勝ちです。先手は必ず勝てるでしょうか。こうした問題で子どもが探すのは、相手がどんな手を選んでも勝てる計画です。その計画は、ゲームの終わりから逆にたどり、どの局面が手番の人にとって負けになるかを調べることで見つかります。
勝ち負けがはっきりしているゲームの終わりから始めて、逆にたどります。ある局面からのどの手も、相手にとって勝ちの局面につながるなら、その局面は負けです。
勝つための手とは、相手に負けの局面を残す手です。そんな手がなければ、手番の人がどんなにかしこくても、その局面は負けです。
多くのゲームでは、勝つ人がつり合いを保ちます。相手の手と自分の手の合計がいつも同じになるように答えたり、鏡に映した反対側で同じ手を打ったりするのです。
マッチ棒を1本、2本、3本のどれか取り、最後のマッチ棒を取った人が勝つゲームでは、手番の人が負ける局面が4本ごとにやってきます。
| 残りのマッチ棒 | いちばんよい手 | 理由 |
|---|---|---|
| 1本、2本、3本 | 全部取る | 最後のマッチ棒を取れば勝ち |
| 4 | 勝てる手はない | どう取っても、相手が残りを全部取る |
| 5本、6本、7本 | 1本、2本、3本のどれかを取って4本残す | 相手に負けの4本がまわる |
| 8 | 勝てる手はない | どう取っても5本、6本、7本のどれかが残る |
局面を小さいほうから順に書き出します。そこからのどの手も勝ちの局面につながるなら、その局面に負けの印を、負けの局面につながる手があれば勝ちの印をつけます。はじめの局面から勝つための手は、負けの局面を残す手です。下の例題は、いちばんやさしい問題から算数オリンピックの問題へと進みます。
例題1 · 5–6年生
ボウルにあめが23個入っています。ユキとレオが順番にあめを取っていき、ユキが先に取ります。どちらも、自分の番に1個、2個、3個、4個のどれかを取ります。最後のあめを取った人の勝ちです。ユキが確実に勝つには、最初に何個取ればよいですか。
終わりから考えます。残りが1〜4個なら、手番の人が全部取って勝ちます。残りが5個なら、どう取っても相手に1〜4個を残すことになるので、5個は負けの局面です。
同じように、10個、15個、20個も負けの局面です。そこからいくつ取っても、相手はボウルのあめを次の5の倍数まで減らせるからです。
ですから、ユキは3個取って20個を残します。レオが何個取っても、ユキは合わせて5個になるように取り、15個、10個、5個と残して、最後には何も残しません。
答え 3個です。
例題2 · 5–6年生
たて5マス、横5マスのマス目の左下のすみに、キングがいます。2人が順番に、キングを1マス上か、1マス右か、1マス右ななめ上に動かします。キングを右上のすみに動かした人の勝ちです。どちらもいちばんよい手を選ぶとき、勝つのはどちらですか。
キングがあと何行、何列進まなければならないかを数えます。隅まであと1手のマスからなら、手番の人がすぐに勝ちます。
残りの行の数と列の数がどちらも偶数なら、そのマスは手番の人の負けです。どう動かしてもどちらかが奇数になり、相手はまた両方を偶数にできるからです。
キングは、隅から4行、4列離れたところから始まります。どちらも偶数なので、先手の負けです。後手は、いつもどちらの数も偶数になるマスへ動かして答え続け、隅にたどり着きます。
答え 後手です。
例題3 · 5–6年生
デイジーの花に、花びらが12枚、輪のようにならんでいます。2人が順番に、花びらを1枚か、すき間なくとなり合って生えている2枚をちぎります。最後の花びらをちぎった人の勝ちです。どちらもいちばんよい手を選ぶとき、勝つのはどちらですか。
先手が1枚ちぎっても2枚ちぎっても、輪が切れて、11枚か10枚の花びらが一列に並びます。
後手は、その列のちょうど真ん中からちぎります。11枚の列なら1枚、10枚の列なら2枚です。すると、向かい合わせに同じ長さの列が2つ残ります。
そこからは、後手は先手の手をすべて、もう一方の列でまねします。先手に打てる手があるかぎり、後手にも打てる手があるので、最後の花びらをちぎるのは後手です。
答え 後手です。
MathTrail は、間違った答えを一つひとつ、どのひっかけにかかったのかから解説します。このテーマでよくあるひっかけを、お子さまへの声かけの例と一緒に紹介します。
ゲームのルールが抜け落ちてしまいます。4個までしか取れないのに5個取ったり、ルールで禁じられているのにキングを左に動かしたりします。許されない手をもとにした計画では、何も勝ち取れません。
声かけ
「ルールで、していい手はどれ？」
「ユキが先だから、ユキの勝ち」と、先手であるだけで勝てると思いこみます。でも、キングの散歩のように、先手がどんな手を選んでも負けるゲームはたくさんあります。
声かけ
「でも、相手がまちがえなかったら？」
相手がミスをしたときにしかうまくいかない計画を立ててしまいます。ユキが4個取り、そのあとレオが少なすぎる数を取るのを期待するような計画です。必勝法は、相手のいちばんよい手にも答えられなければなりません。
声かけ
「それに対して、相手のいちばんいい手は何？」
15本のマッチ棒から1本、2本、3本のどれかを取っていくゲームを、お子さまを先手にして遊んでみてください。何回か勝ったら、なぜ4の倍数が何度も出てくるのかを聞いてみましょう。
対称な盤を使うゲームなら、どんなゲームでも、相手の手を反対側でまねしてみてください。まねがうまくいくのはどんなときか、うまくいかなくなるのはどんなときかを聞いてみましょう。
お子さまが勝つ計画を見つけたら、立場を入れかえて、今度はお子さまが後手になります。その立場からだとなぜ計画が負けてしまうのかを説明することが、このテーマの、より深いほうの半分です。
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