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Strategien und SpieleKlassen 5–6

Spiele mit Gewinnstrategie

Auf dem Tisch liegen 20 Streichhölzer, und zwei Personen nehmen abwechselnd 1, 2 oder 3 davon. Wer das letzte Streichholz nimmt, gewinnt, wie beim Nim-Spiel. Kann, wer anfängt, immer gewinnen? In diesen Aufgaben sucht ein Kind einen Plan, der gewinnt, ganz gleich, was das Gegenüber tut, und findet ihn, indem es vom Spielende aus rückwärts arbeitet: Es ermittelt, in welchen Stellungen verliert, wer von dort aus ziehen muss.

Der Kniff
Vom Spielende rückwärts arbeiten und die Verluststellungen finden
Was man dabei lernt
Einen Plan finden, der gewinnt, ganz gleich, was das Gegenüber tut

Die Regeln der Spiele

Verluststellungen

Im Spiel, in dem man 1, 2 oder 3 Streichhölzer nimmt und das letzte Streichholz gewinnt, wiederholen sich die Stellungen, in denen verliert, wer am Zug ist, alle 4 Streichhölzer.

Übrige StreichhölzerDer beste ZugWarum
1, 2 oder 3alle nehmendas letzte Streichholz gewinnt
4kein Zug gewinntnach jedem Zug nimmt das Gegenüber den Rest
5, 6 oder 71, 2 oder 3 nehmen, sodass 4 bleibendas Gegenüber bekommt 4, eine Verluststellung
8kein Zug gewinntjeder Zug lässt 5, 6 oder 7 übrig

Lösungsweg: vom Ende des Spiels her

Schreiben Sie die Stellungen auf, von der kleinsten aufwärts. Markieren Sie eine Stellung als Verluststellung, wenn jeder Zug von ihr aus zu einer Gewinnstellung führt, und als Gewinnstellung, wenn irgendein Zug zu einer Verluststellung führt. Der Gewinnzug am Anfang ist der, der eine Verluststellung hinterlässt. Die Beispiele unten reichen von ganz einfach bis Olympiade-Niveau.

  1. Mit den Stellungen am Spielende beginnen
  2. Jede als Gewinn- oder Verluststellung markieren, von der kleinsten aufwärts
  3. Den Zug finden, der dem Gegenüber eine Verluststellung hinterlässt

Beispiel 1 · Klassen 5–6

Bonbons in einer Schale

In einer Schale liegen 23 Bonbons. Kim und Leo ziehen abwechselnd, und Kim fängt an. Wer am Zug ist, nimmt 1, 2, 3 oder 4 Bonbons. Wer den letzten Bonbon nimmt, gewinnt. Wie viele Bonbons muss Kim beim ersten Zug nehmen, um sicher zu gewinnen?

  1. Vom Ende her: Sind noch 1 bis 4 Bonbons übrig, nimmt, wer am Zug ist, alle und gewinnt. Sind noch 5 übrig, lässt jeder Zug dem Gegenüber 1 bis 4, also ist 5 eine Verluststellung.

  2. Genauso sind 10, 15 und 20 Verluststellungen: Was man auch davon nimmt, das Gegenüber kann die Schale auf das nächste Vielfache von 5 bringen.

  3. Also nimmt Kim 3 und lässt 20 übrig. Was Leo auch nimmt, Kim ergänzt auf 5 und lässt 15, 10, 5 und zuletzt nichts übrig.

Antwort 3 Bonbons.

Beispiel 2 · Klassen 5–6

Der Weg des Königs

Ein König steht in der linken unteren Ecke eines Bretts mit 5 mal 5 Feldern. Zwei Personen ziehen ihn abwechselnd ein Feld nach oben, ein Feld nach rechts oder ein Feld schräg nach rechts oben. Wer den König in die rechte obere Ecke zieht, gewinnt. Wer gewinnt, wenn beide so gut wie möglich spielen?

  1. Zählen, wie viele Reihen und wie viele Spalten der König noch vor sich hat. Von einem Feld einen Zug vor der Ecke gewinnt sofort, wer am Zug ist.

  2. Auf einem Feld verliert, wer am Zug ist, wenn beide Zahlen gerade sind: Jeder Zug macht eine davon ungerade, und das Gegenüber kann beide wieder gerade machen.

  3. Der König steht anfangs 4 Reihen und 4 Spalten entfernt, beides gerade, also verliert, wer anfängt. Wer als Zweites zieht, antwortet jedes Mal mit einem Zug auf ein Feld mit zwei geraden Zahlen und erreicht die Ecke.

Antwort Wer als Zweites zieht.

Beispiel 3 · Klassen 5–6

Das Gänseblümchen

Ein Gänseblümchen hat 12 Blütenblätter im Kreis. Zwei Personen zupfen abwechselnd entweder ein Blütenblatt ab oder zwei, die direkt nebeneinander wachsen, ohne Lücke dazwischen. Wer das letzte Blütenblatt abzupft, gewinnt. Wer gewinnt, wenn beide so gut wie möglich spielen?

  1. Ganz gleich, ob beim ersten Zug ein Blütenblatt oder zwei abgezupft werden: Der Kreis öffnet sich zu einer Reihe aus 11 oder 10 Blütenblättern.

  2. Wer als Zweites zieht, zupft genau aus der Mitte dieser Reihe: ein Blütenblatt aus einer Reihe von 11 oder zwei aus einer Reihe von 10. Übrig bleiben zwei gleiche Reihen auf gegenüberliegenden Seiten.

  3. Von da an macht, wer als Zweites zieht, jeden Zug in der anderen Reihe nach. Kann, wer anfängt, noch ziehen, dann kann es das Gegenüber auch; darum zupft, wer als Zweites zieht, das letzte Blütenblatt ab.

Antwort Wer als Zweites zieht.

Wo Kinder Fehler machen

MathTrail erklärt jede falsche Antwort mit der Falle, die dahintersteckt. Hier sind die häufigsten in diesem Thema, jeweils mit einem Satz, den Sie Ihrem Kind sagen können.

So helfen Sie zu Hause

  1. Das Streichholzspiel spielen

    Spielen Sie das Spiel, bei dem man von 15 Streichhölzern 1, 2 oder 3 nimmt, und lassen Sie Ihr Kind anfangen. Gewinnen Sie ein paar Mal und fragen Sie dann, warum die Vielfachen von 4 immer wiederkommen.

  2. Den Zug nachmachen

    Versuchen Sie in jedem Spiel auf einem symmetrischen Brett, den Zug des Gegenübers auf der anderen Seite nachzumachen. Fragen Sie, wann die Kopie funktioniert und wann sie scheitert.

  3. Die Seiten tauschen

    Wenn Ihr Kind einen Gewinnplan findet, tauschen Sie: Jetzt zieht Ihr Kind als Zweites. Zu erklären, warum der Plan von dort aus verliert, ist die tiefere Hälfte des Themas.

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